Раскрытие несобственного интеграла

[SPgum]

Здравствуйте! Подскажите пути раскрытия интеграла от нуля до бесконечности!

$$\int_{0}^{\infty} (kx^2+4){\cos(ax)} \ (x^4+kx^2+4)^{-1} dx$$

В справочнике Рыжика Градштейна такого не нашел ! Строго говоря, мне нужно выйти на аналитический вид, с тем чтобы загнать затем в уравнение фридгольма второго рода! Может как-то разложить в ряды ???

[Brukvalub]

SPgum в сообщении #1119358 писал(а):

$$\int_{0}^{\infty} {\kx^2+4}{\cos(ax)}\{\x^4+kx^2+4} dx$$

В справочнике Рыжика Градштейна такого не нашел

Так "криво" записанного интеграла даже в энциклопедии юного нумизмата не найти!

[Someone]

Если под "раскрытием" подразумевается вычисление, то могу порекомендовать методы ТФКП. Вычеты там всякие…

[Aritaborian]

(Оффтоп)

SPgum в сообщении #1119358 писал(а):

уравнение фридгольма второго рода

Слышь, Бивис, он сказал «Фридгольма»! Простите, не мог пройти мимо. Нет, ну в самом деле: что мы наблюдаем в данном случае? Мы видим, как очевидно квалифицированный в своей области специалист допускает несуразную ошибку в написании фамилии, которую он наверняка пишет далеко не впервые. SPgum, ничего личного, вы просто под горячую руку попались. Буду ли я прав, если предположу, что это проявление so-called дисграфии? (Давно хочу завести обстоятельное обсуждение этой темы с примерами, взятыми непосредственно с dxdy. Но это ж нужно накопить примеров, рассортировать их, подготовить всяких аргументов и прочего...)

[SPgum]

Здравствуйте! Приношу извинения за допущенную ошибку в слове Фредгольм!
Если использовать теорию вычетов, то насколько я понимаю, необходимо будет знаменатель раскладывать на множители. Корни получаются весьма громозкими. У Рыжика и Градштейна есть отдельно решение для интеграла

$$\int_{0}^{\infty} \frac{(x^2+b^2)\cos(ax)}{(x^2+b^2)^2+c^2} dx$$

и для интеграла

$$\int_{0}^{\infty} \frac{\cos(ax)}{(x^2+b^2)^2+c^2} dx$$

Может допустимо, чтобы из выражения для первого интеграла вычесть значение второго умноженного на ${b^2}$
тогда возможно получилось бы значение для интеграла

$$\int_{0}^{\infty} \frac{x^2\cos(ax)}{(x^2+b^2)^2+c^2} dx$$

Правда при этом нужно как -то выражать само ${b^2}$, а как его выразить Большойвопрос
Спасибо!!!!

[Vince Diesel]

Если вам нужен просто ответ, попробуйте матпакеты.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[alcoholist]

SPgum в сообщении #1119436 писал(а):

Корни получаются весьма громозкими.

Нормальные корни. Это же биквадратное уравнение.
Да, повозиться придется. В зависимости от значения $k$. Если корни знаменателя вещественны, то интеграл понимается, вероятно, в смысле главного значения. Но принципиальных трудностей нет.

[alcoholist]

Ну смотрите,

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{(kx^2+4)\cos(ax)}{x^4+kx^2+4} dx=\operatorname{Re}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{(kx^2+4)e^{iax}}{x^4+kx^2+4} dx=\lim\limits_{R\to+\infty}\operatorname{Re}\int_{C_R}\frac{ (kz^2+4)e^{iaz}}{(z-z_1)(z-z_1^*)(z-z_2)(z-z_2^*)} dz=$$

$$ =\pi\operatorname{Re}\left(\frac{ i(kz_1^2+4)e^{iaz_1}}{\operatorname{Im}z_1(z_1-z_2)(z_1-z_2^*)} +\frac{ i(kz_2^2+4)e^{iaz_2}}{(z_2-z_1)(z_2-z_1^*)\operatorname{Im}z_2} \right) $$

здесь $C_R$ -- верхняя полуокружность $|z|=R$ с диаметром, $z_{1,2}$ лежат в верхней полуплоскости. Выражение должно сильно упроститься

[ewert]

Во-первых, писать вещественную часть нет смысла. Во-вторых, оно ещё больше упростится, если знаменатель продифференцировать.

[SPgum]

Спасибо!!!
Хм!
Опять неопределенность!
Отностительно производной знаменателя вроде все ясно! А вот с вещественной частью, это для меня пока вопрос.

[alcoholist]

ewert в сообщении #1120027 писал(а):

Во-первых, писать вещественную часть нет смысла

Что-то сильно расти будет $\cos iaz$ при $z\to i\infty$

ewert в сообщении #1120027 писал(а):

оно ещё больше упростится, если знаменатель продифференцировать

вот этого я не понял

[ewert]

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{(kx^2+4)\cos(ax)}{x^4+kx^2+4} dx=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{(kx^2+4)e^{iax}}{x^4+kx^2+4} dx=2\pi i\left.\frac{ (kz^2+4)e^{iaz}}{4z^3+2kz}\right|_{z=z_1}+2\pi i\left.\frac{ (kz^2+4)e^{iaz}}{4z^3+2kz}\right|_{z=z_2}$

Если, конечно, $k>-4$ и $k\neq4$.

[Lia]

SPgum
А что бы Вам учебник какой не взять, Сидоров, Федорюк, Шабунин, например, "Лекции по ТФКП". Чтобы уважаемые люди не развлекались переписыванием сюда параграфа из оного.

ewert
Замечание за полное решение простой учебной задачи.