2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5
 
 Re: Раскрытие несобственного интеграла
Сообщение11.12.2017, 19:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
SPgum в сообщении #1273931 писал(а):
это не отвечает на вопрос о расхождении значений при численном счете и вычислениях в аналитическом виде

provincialka в сообщении #1273665 писал(а):
при больших $m$ и $x$ вычисление $\cos(mx)$ может содержать большую погрешность из-за недостаточно точного значения $\pi$.

А что касается сходимости, просто оцениваем подынтегральную фунцкию по модулю:
$\left|\frac {(kz^2+4)\cos z(x-t)} {z^4+kz^2+4}\right| \leqslant \frac {kz^2+4} {z^4+kz^2+4}\sim\frac{k}{z^2}$, на бесконечности интеграл от последней функции сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскрытие несобственного интеграла
Сообщение11.12.2017, 23:22 


27/03/16
53
Параметр $k$ по физическому смыслу задачи (как коэффициент сцепления грунта) может принимать значения от 0 до 0.9 т.е.
$0 \leqslant k \leqslant 0.9$

-- 11.12.2017, 23:41 --

Благодарю за разъяснение относительно сходимости (покрайне мере буду знать на что опираться)
provincialka в сообщении #1274082 писал(а):
А что касается сходимости, просто оцениваем подынтегральную фунцкию по модулю:
$\left|\frac {(kz^2+4)\cos z(x-t)} {z^4+kz^2+4}\right| \leqslant \frac {kz^2+4} {z^4+kz^2+4}\sim\frac{k}{z^2}$, на бесконечности интеграл от последней функции сходится.

Но, тогда у меня опять возникает вопрос как оценить то, что для заданного интеграла цифры $x=11, t=6, k=0.5$ большие ?
"при больших $m$ и $x$ вычисление $\cos(mx)$ может содержать большую погрешность из-за недостаточно точного значения $\pi$".
Откуда берется разница вычесленных значений порядка 10 тысяч?

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскрытие несобственного интеграла
Сообщение12.12.2017, 14:16 


27/03/16
53
И еще вопрос!?
То, что интеграл сходится по признаку сходимости - означает ли, что это утверждение, а не всего лишь признак?

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскрытие несобственного интеграла
Сообщение12.12.2017, 15:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
SPgum в сообщении #1274343 писал(а):
означает ли, что это утверждение, а не всего лишь признак?
??? Признак сходимости является утверждением. Как и любая другая теорема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскрытие несобственного интеграла
Сообщение13.12.2017, 09:39 


27/03/16
53
Простите, но тогда я не могу понять, почему если исходные интегралы сходятся
А что касается сходимости, просто оцениваем подынтегральную фунцкию по модулю:
$\left|\frac {(kz^2+4)\cos z(x-t)} {z^4+kz^2+4}\right| \leqslant \frac {kz^2+4} {z^4+kz^2+4}\sim\frac{k}{z^2}$, на бесконечности интеграл от последней функции сходится.
$\left|\frac {(kz^2+4)\cos z(x+t)} {z^4+kz^2+4}\right| \leqslant \frac {kz^2+4} {z^4+kz^2+4}\sim\frac{k}{z^2}$
То почему сумма их численных значений численно не равна значению интеграла?
То есть почему, уже начиная с цифр $x=11, t=4, k=0.5$ перестает выполняться равенство?
$\int_{0}^{\infty} \frac {(kz^2+4)\cos zt\cos zx} {z^4+kz^2+4}\,dz$\not = \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac {(kz^2+4)\cos (x-t)z} {z^4+kz^2+4}\,dz+\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac {(kz^2+4)\cos (x+t)z} {z^4+kz^2+4}\,dz$
Расчет проводил в Wolfram matematik

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскрытие несобственного интеграла
Сообщение13.12.2017, 10:07 


20/03/14
12041
SPgum
SPgum в сообщении #1274549 писал(а):
То почему сумма их численных значений численно не равна значению интеграла?

Кто ж Вас знает, почему. Выкладывайте код и что получалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскрытие несобственного интеграла
Сообщение13.12.2017, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
SPgum в сообщении #1274549 писал(а):
То есть почему, уже начиная с цифр $x=11, t=4, k=0.5$ перестает выполняться равенство?
$\int_{0}^{\infty} \frac {(kz^2+4)\cos zt\cos zx} {z^4+kz^2+4}\,dz\not = \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac {(kz^2+4)\cos (x-t)z} {z^4+kz^2+4}\,dz+\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac {(kz^2+4)\cos (x+t)z} {z^4+kz^2+4}\,dz$
Расчет проводил в Wolfram matematik
Wolfram Mathematica 9.0. И правда кучу сообщений выдаёт, когда вычисляет сумму интегралов. И результат не совпадают с результатом вычисления интеграла в левой части. Видимо, вычисления оказались сильно неточными.

Но я поэкспериментировал с параметром WorkingPrecision. Наибольшее значение, с которым вычисление левой части прошло без лишних сообщений, оказалось WorkingPrecision -> 33. Результат: $0.000631135199939892933752219540512346$.
При вычислении суммы интегралов наименьшим возможным оказалось значение WorkingPrecision -> 35. Результат: $0.00063113519993989293375221954051234710$.
И есть другие полезные параметры.

У Вас в процитированной формуле имеется лишний знак доллара после первого интеграла.

-- Ср дек 13, 2017 15:26:29 --

Забыл сказать. Значение $k$ я задавал в виде обыкновенной дроби $\frac 12$, а не в виде десятичной дроби $0.5$. Иначе появляются предупреждения о недостаточной точности задания подынтегральной функции.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 67 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group