2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение07.11.2017, 22:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7182
Hogtown
g______d в сообщении #1263152 писал(а):
Да, тогда из общей теории можно только сказать, что будет непрерывный спектр при энергиях выше $U_0$ и какое-то количество (зависящее от $d$ и $U_0$) простых

Дискретный спектр будет бесконечным: На бесконечности потенциал похож на кулоновский сдвинутый $U_0 - U_0|x|^{-1}$, а у последнего д.с. бесконечен и накапливается к $U_0^-$. Собственные функции, четные и нечетные, будут чередоваться. Можно писать асимптотики, причем весьма точные для $E_n$ и даже для соответствующих собственных функций (методом WKB)

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение07.11.2017, 22:29 


08/10/09
110
Спасибо всем за дельные советы.Я лишь отмечу, что и здесь можно пытаться искать точное решение с помощью степенных рядов. При этом на начальном этапе нужно отыскать асимптотические решения при $x\to \infty$ и $x\to 0$. Далее их можно будет "сшить" при помощи степенного ряда. Словом, а-ля радиальное уравнение с кулоновским потенциалом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение08.11.2017, 01:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7182
Hogtown
reterty в сообщении #1263234 писал(а):
точное решение с помощью степенных рядов

Ну получите вы какой-то степенной ряд (в лучшем случае), или точнее, несколько степенных рядов. Ну и что? Степенной ряд в 0 тривиален: ведь потенциал "абсолютно плоский". На бесконечности степенной ряд должен быть по обратным степеням, причем с умножением на $e^{-\beta |x|}$. И дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение10.11.2017, 19:22 


08/10/09
110
В вышеупомянутой яме, а именно в яме с потенциальной энергей $U=U_0 \exp(-d/\vert x \vert)$ точка перегиба потенциального профиля всегда совпадает с краем ямы $d$, но для нее нельзя "играться" со степенью размытия ямы. Я придумал потенциал использующий фермиевскую функцию для фермионов. Зависимость следующая: $U=U_0\left(\frac{\exp\left(\frac{\vert x\vert-d}{\Delta}\right)}{1+\exp\left(\frac{\vert x\vert-d}{\Delta}\right)}\right)$, где $\Delta$-величина размерности длины, характеризующая степеннь размытия ямы. При $\Delta \to 0$ глубина ямы практически не изменяется и равна $U_0$, а точка перегиба также всегда совпадает с краем ямы. Правда, эта зависисимость паршиво ведет себя вблизи центра ямы. А вот придумать яму с фиксированной глубиной и точкой перегиба и с переменным "размытием" мне не удалось. Наверное, такой функции не существует вообще.

Ну и наконец, я нашел в литературе так называемое преобразование Дарбу, которое позволяет привести данное ДУ с переменными коэффциентами к одному из известных видов. Может кто-то знает хорошую монографию по этому преобразованию, где описан четкий алгоритм действий?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение15.11.2017, 16:31 
Заслуженный участник


11/05/08
31255
Red_Herring в сообщении #1263223 писал(а):
Дискретный спектр будет бесконечным: На бесконечности потенциал похож на кулоновский сдвинутый $U_0 - U_0|x|^{-1}$

Это правда, но ещё лучше сказать, что интеграл $\int|x(u(x)-u_0)|dx$ на бесконечности расходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение15.11.2017, 16:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7182
Hogtown
ewert в сообщении #1265506 писал(а):
Это правда, но ещё лучше сказать, что интеграл $\int|x(u(x)-u_0)|dx$ на бесконечности расходится.
На самом деле, "похож на кулоновский" несет больше информации: не только о бесконечности числа с.з. но и о том что $\lambda_n\sim \mu_n$, о с.з. двух операторов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение16.11.2017, 12:09 


31/08/17
175
reterty в сообщении #1262820 писал(а):
После простейших преобразований оно сводится к виду:
$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+[k^2-\alpha^2 \exp(-1/x)]\psi=0$, (1)

система $$\dot\psi =p,\quad \dot p=(-k^2+\alpha^2 \exp(-1/t))\psi$$ приводится к системе с постоянной матрицей заменой $z\mapsto C(t)z,\quad z=(\psi,p)^T$, где $C(t)$ -- матрица Ляпунова ($t\ge const>0)$ У системы с постоянной матрицей характеристические показатели теже, что и в исходной системе

-- 16.11.2017, 13:43 --

и равны $\pm\sqrt{\alpha^2-k^2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение16.11.2017, 18:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4483
Это принципиально ничем не отличается от построения решения Йоста и в силу условия

Цитата:
$t\ge const>0$


скорее всего не поможет в нахождении спектра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение16.11.2017, 18:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7182
Hogtown
g______d в сообщении #1265835 писал(а):
скорее всего не поможет в нахождении спектра.
Кажется, все еще хуже: $C(t)=C(t,k)$, и вероятно, эта самая const также зависит от $k$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение16.11.2017, 20:53 


08/10/09
110
Если аналитика, то только преобразование Дарбу первого порядка.....вот так то

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение16.11.2017, 21:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4483
reterty в сообщении #1265879 писал(а):
Если аналитика, то только преобразование Дарбу первого порядка.....вот так то


А что оно может дать лучше, чем Йост?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group