Группа перестановок

[Nik_Nikols]

Имеет место следующий факт.

Пусть $S_n$ есть группа перестановок множества $n=\{0,1,\ldots, n-1\}$, $\mathrm{St}(n,i)$ есть ее подгруппа, содержащая все перестановки с неподвижной точной $i$ $(i<n)$, a $G$ есть подгруппа группы $S_n$, удовлетворяющая условию $\tau G\tau^{-1}\subseteq G$ для любой перестановки $\tau\in\mathrm{St}(n,i)$. Тогда $G$ есть либо нормальная подгруппа группы $S_n$, либо нормальная подгруппа группы $\mathrm{St}(n,i)$.

У меня есть нудное "школьное" доказательство (в оффтопе приложен файл). Однако, вышеуказанный факт мне нужен для более или менее серьезной работы, куда крайне не желательно это школьное доказательство помещать. Буду признателен за указание, как доказать этот факт "промышленным методом", а еще больше за ссылку на какой-нибудь нормальный источник (предполагаю, что сей факт был замечен давно и где-нибудь фигурирует, например, в форме задачки).

Заранее признателен.

PS Обозначения не совсем удачные, заранее приношу извинения.

(Оффтоп)

https://yadi.sk/d/0Cc5k6d93PSZbp

[Xaositect]

Нормализатором (normalizer) подгруппы $H \subset G$ называется подгруппа $N(H) \subset G$, состоящая из всех элементов $x$ таких, что $xHx^{-1} = H$.
Любая подгруппа является нормальной подгруппой своего нормализатора.

[Nik_Nikols]

Замечательно. Спасибо. Ссылку я найду.
Факт теперь следует из того, что $\mathrm{St}(n,i)$ есть коатом решетки подгрупп группы $S_n$ (вроде бы, это так). Последнее утверждение надо доказывать руками или тоже можно на что-нибудь сослаться?

[vpb]

Это (то, что $S_{n-1}$ --- максимальная подгруппа в $S_n$) --- очень простой факт. Найти конкретную ссылку затрудняюсь,
а доказывается так. Рассмотрим действие $S_n$ на множестве $\{1,2,\ldots,n\}$ (про действия групп на множествах см. учебник Кострикина или Винберга). Заметим, что $S_{n-1}$ имеет всего две орбиты, а именно $\{1,\ldots,n-1\}$ и $\{n\}$. Пусть теперь $H$ --- любая подгруппа, содержащая $S_{n-1}$ собственным образом. Тогда $H$ содержит элемент $g$, сдвигающий $n$. Поэтому $H$ действует на $\{1,\ldots,n\}$ транзитивно. Значит $|H|=n|H_1|$, где $H_1$ --- стабилизатор $n$ в $H$. Ясно, что $H_1\supseteq S_{n-1}$ (поскольку $H\supseteq S_{n-1}$ по предположению), а с другой стороны очевидно $H_1\subseteq S_{n-1}$, значит они равны, откуда $|H|=n|H_1|=n\cdot(n-1)!=n!=|S_n|$, значит $H=S_n$.

-- 06.11.2017, 14:39 --

Да и насчет ссылки что такое нормализатор тоже ходить дальше учебника Кострикина не нужно.

[Nik_Nikols]

vpb, сердечно благодарен. С тем, что факт совсем простой, совершенно согласен. Мне нужно было грамотное алгебраическое доказательство. Ваше меня вполне устраивает.

(Оффтоп)

Если дойдет дело до использования (что зависит от ряда обстоятельств), обязательно пришлю Вам и Xaositect запрос на включение Вас в число благодаримых.

[Nik_Nikols]

Кстати, м.б. есть какая-нибудь известная теорема об описании максимальных подгрупп группы $S_n$?