2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Об аффинных пространствах и грудах
Сообщение05.11.2017, 23:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21068
Уфа
Давеча я наконец-то решил довести до ума старинную идею задать аффинное пространство аксиоматически как коммутативную груду $A$ (коммутативность означает $[a,b,c] = [c,b,a]$) с дополнительными свойствами, а именно операцией $\langle\;,\;,\;\rangle\colon A\times K\times A\to A$, где $K$ — поле, такой, что выполняются аксиомы, аналогичные последним четырём аксиомам линейного пространства (когда оно задаётся восемью отдельными аксиомами, а не более кратко):

1. $\langle x,\lambda\mu, y\rangle = \langle x,\lambda,\langle x,\mu, y\rangle\rangle$ (аналогична $(\lambda\mu)\mathbf v = \lambda(\mu\mathbf v)$);
2. $\langle x, 1, y\rangle = y$ (аналогична $1\mathbf v = \mathbf v$);
3. $\langle x,\lambda, z\rangle = [\langle x,\lambda, y\rangle,y,\langle y,\lambda, z\rangle]$ (аналогична $\lambda(\mathbf u + \mathbf v) = \lambda\mathbf u + \lambda\mathbf v$);
4. $\langle x,\lambda+\mu, y\rangle = [\langle x,\lambda, y\rangle,x,\langle x,\mu, y\rangle]$ (аналогична $(\lambda + \mu)\mathbf v = \lambda\mathbf v + \mu\mathbf v$).

Это вполне себе красиво, но хочется сделать короче: соответствующие аксиомы векторного пространства можно заменить словами «существует гомоморфизм колец $f\colon K\to\operatorname{End}(V)$» и определить умножение на скаляр так: $\alpha\mathbf v = f(\alpha)(\mathbf v)$. Начал конструировать что-то аналогичное и, например, убедился, что моноид эндоморфизмов груды можно тоже сделать грудой, получив некоторую аналогию кольцу (назовём её, если вдруг понадобится ниже, крыльцом), но это никак не помогло выразить операцию $\langle\ldots\rangle$, т. к. неоткуда брать один из её аргументов (и как я сразу не сообразил, когда начинал). Тогда я глянул на $\operatorname{Hom}(A\oplus A,A)$ ($A\oplus A$ — это $A\times A$ с операцией $[(a,a'),(b,b'),(c,c')] = ([a,b,c],[a',b',c'])$), но сразу понял, что композиции-то тут уже нет, и всякая аналогия с кольцом теряется. В общем, не знаю, можно ли что-то сочинить — может, кто-то знает или придумает. Странно будет, если совершенно никакой аналогии тут построить нельзя.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group