О хаусдорфовых компактах у Колмогорова-Фомина

[Mikhail_K]

Перечитывал Колмогорова-Фомина и поймал себя на том, что не вполне понимаю одно их утверждение.

Колмогоров, Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа писал(а):

Топологическое пространство $T$ называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие.

Компактное топологическое пространство, удовлетворяющее аксиоме отделимости Хаусдорфа, называется компактом.

Теорема 3. Замкнутое подмножество компактного пространства компактно.

Следствие. Замкнутое подмножество компакта есть компакт.

Теорема 4. Компакт замкнут в любом содержащем его хаусдорфовом пространстве.

Теоремы 3 и 4 показывают, что в классе хаусдорфовых пространств компактность есть внутреннее свойство пространства, т.е. всякий компакт остаётся компактом, в какое бы более широкое хаусдорфово пространство мы его ни включили.

Непонятно подчёркнутое утверждение. Его надо так понимать, что компактное множество может перестать быть компактным, если включить его в более широкое нехаусдорфово пространство? Как этому придать точный смысл?

Вообще, я привык определять компактное множество следующими эквивалентными способами.
1) Множество $M$ в топологическом пространстве компактно, если оно образует компактное подпространство (а что такое компактное пространство - см. выше). То есть если любое его открытое покрытие (подмножествами $M$, открытыми в его индуцированной топологии) содержит конечное подпокрытие;
2) Множество $M$ в топологическом пространстве $X$ компактно, если любое его открытое покрытие (множествами в $X$, открытыми в $X$ и не обязательно подмножествами $M$) содержит конечное подпокрытие.

Насколько я понимаю, эти два определения эквивалентны что в хаусдорфовых пространствах, что в нехаусдорфовых, потому что любому покрытию множества $M$ открытыми в $X$ множествами соответствует покрытие открытыми в индуцированной топологии $M$ подмножествами $M$ (а именно пересечениями множеств из первого покрытия с $M$).

Если глядеть с этой точки зрения, то компактность - внутреннее свойство хоть в хаусдорфовых, хоть в нехаусдорфовых пространствах: компактное множество будет компактным в любом содержащем его пространстве.
Не ошибаюсь ли я в чём-нибудь? Что имели в виду Колмогоров и Фомин, говоря о "внутреннем свойстве"?

[Someone]

Мне тоже эта фраза непонятна. Компактность определяется внутренним образом, поэтому является внутренним свойством. Независимо от хаусдорфовости и от вложения куда-либо.

Вероятно, авторы хотели сказать, что в классе компактов компактность эквивалентна замкнутости. В конце-концов, теоремы 3 и 4 именно это и утверждают.