Задачка из треугольника Паскаля

[Otta]

Roger
Вот и выразите $k$-й элемент второй строки через сочетания.
Потом то же - для третьей. Потом для четвертой. Потом -... а потом, глядишь, и не понадобится.

[Roger]

arseniiv в сообщении #1262350 писал(а):

Кстати говоря, мультиномиальные коэффициенты (чьим частным случаем будут биномиальные) иногда называются полиномиальными. Вот и связь.

Это лингвистическая связь, а нужна логическая.

-- 05.11.2017, 02:42 --

Otta в сообщении #1262352 писал(а):

Roger
Вот и выразите $k$-й элемент второй строки через сочетания.
Потом то же - для третьей. Потом для четвертой. Потом -... а потом, глядишь, и не понадобится.

Ну как же Вы меня не понимаете!!! Мне нужна эта формула для применения в другой задаче. Именно в таком виде, а не через биномиальные коэффициенты. Сами значения коэффициентов меня не интересуют, проблем их посчитать нет, нужна именно обобщенная формула заданного вида. Не через факториалы, а через степени.

[Otta]

Roger в сообщении #1262354 писал(а):

Ну как же Вы меня не понимаете!!! Мне нужна эта формула для применения в другой задаче. Именно в таком виде, а не через биномиальные коэффициенты.

Слушайтесь старших, и будет Вам счастье и халява.
Ну-ка, скажите, чему равно $C^2_n$?

[Roger]

$\frac{n!}{2!(n-2)!}$

[arseniiv]

[Написано чуть раньше последних ответов.]

Roger в сообщении #1262354 писал(а):

Это лингвистическая связь, а нужна логическая.

Пошутить уже низя. Так-то здравые советы Otta уже написаны — их если только перефразировать… Ну вот в третьей, если считать их с нуля, строчке у нас какие числа? $\binom30, \binom41, \binom52, \binom63, \ldots$ — как эту последовательность записать одной формулой? Запишите её пока — не идите с конца, раз не получается, идите с начала. С конца, и с любой другой стороны, можно идти, когда явно чувствуется, что куда-то идётся.

UPD. На всякий случай, $\binom nk\equiv C_n^k$.

[Otta]

А упростить?

-- 05.11.2017, 04:50 --

(Оффтоп)

arseniiv
Он их просто никогда не считал

[Roger]

$\frac{n(n-1)}{2!}$

[Otta]

Ну и чем оно Вам не полином?

[Roger]

действительно полином, но мне нужен полином для строки, а не для диагонали.

[Otta]

Все советы были уже, работайте. За Вас решать никто не будет.

[arseniiv]

Вот то место:

arseniiv в сообщении #1262358 писал(а):

$\binom30, \binom41, \binom52, \binom63, \ldots$ — как эту последовательность записать одной формулой?

[Roger]

Уточнение постановки задачи:
По сути необходимо выразить биномиальные коэффициенты как многочлены от номера столбца.
Причем вид многочлена должен быть индивидуален для каждой строки, а наивысшая степень многочлена должна быть меньше номера строки n.

Попытки решения:
Для третьей строки подробрал: $\frac{x^2+x}{2}$
Для четвертой строки тоже подобрал выражение: $\frac{2x^3+6x^2+4x}{12}$
Как искать общую формулу для произвольной строки n - ума не приложу.

Нашел формулу еще для одной строки и того получил формулы для первых 5-ти строк:

1. $x^0$
2. $x^1$
3. $\frac{x^2+x}{2}$
4. $\frac{x^3+3x^2+2x}{6}$
5. $\frac{x^4+6x^3+11x^2+6x}{24}$

Есть ли общая закономерность и формула и как их искать- пока не пойму как понять.

Вроде бы можно находить эти полиномы через числа Бернулли так нашел для строки 6:
6. $\frac{x^5+10x^4+35x^3+50x^2+24x}{120}$

Обратил внимание на следующие закономерности:
1. Сумма коэффициентов полинома равна знаменателю.
2. Первый коэффициент равен $1$.
3. Знаменатель равен$(n-1)!$, где $n$- номер строки.
4. Последний коэффициент равен знаменателю в предыдущей формуле, знаменатель из предыдущей формулы как-будто поднимается в числитель следующей формулы: $(n-2)!$.
5. Второй коэффициент получается рекурсивно, прибавлением ко второму коэффициенту из предыдущей формулы $n-1$, также он равен сумме показателей степеней в предыдущей формуле.
6. Коэффициенты во всех полиномах при любых степенях меньших высшей степени ненулевые.

Общую формулу пока вывести не удается.

Кстати, я кажется понял, что имел ввиду уважаемый arseniiv своим вопросом:

Записать эту строку можно формулой: $C_n^{n-3}$, но я не понимаю как перейти к виду в котором выражение от степеней номера строки.

Я хочу обобщить уже полученные формулы в одну, нужен именно такой вид полиномов где зависимость выражается через полином от номера столбца в представленной таблице, о чем говорилось сразу. Я нашел для первых 6-ти строк такие выражения, причем последнее выражение для 6-й строки нашел с помощью чисел Бернулли. Это очень громоздко и непродуктивно подбирать такие формулы по одной строке. Может быть есть более простой способ вывести общую формулу?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

+ Отсутствие содержательных попыток решения при наличии достаточного количества подсказок для решения полного.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.