2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Как показать невырожденность суммы двух периодических матриц
Сообщение01.11.2017, 11:32 


12/11/13
78
Добрый день!

Даны две матрицы, $A(t)$ и $B(t)$, обе матрицы $R_+ \to R^{n \times n}$. Все элементы матриц - гладкие функции, матрицы периодические, но периоды различны, т.е. $A(t+T_A) = A(t)$ и $B(t+T_B) = B(t)$, но $T_A \ne T_B$. Известно, что определитель матрицы $A(t)$ тождественно равен ненулевой константе, $\det(A(t)) \equiv d_A \ne 0$. Требуется показать, что сумма этих матриц не может быть тождественно вырожденной, то есть существует $t^*$, такой что $\det(A(t^*)+B(t^*))\ne 0$.

Что я пробовал. Первое, раз все элементы матриц периодичны, то и собственные числа матриц периодичны. Я пытался найти какое-то полезное неравенство для собственных чисел суммы матриц, но безрезультатно.

Пробовал рассмотреть квадратичную форму $x^\top(A+B)^\top (A+B)x$ и показать, что для какого-то $t^*$ она должна быть положительной для всех $x$, но тоже ничего не вышло.

Смотрел на ряды Неймана для анализа невырожденности матрицы $I+A^{-1}B$, не получилось.

Сейчас думаю над таким подходом. Пусть $t_i:=iT_a$, $A_0:=A(t_0)$, $B_0:=B(t_0)$. Тогда $A(t_i)=A_0$ для всех $t_i$. Так как периоды матриц различны, то существует множество $t_k$, таких что все $B_k:=B(t_k)$ различны, и для всех них должно выполняться $\det(I+A_0^{-1}B_k)=0$. Нет ли тут какого-то противоречия?

Помогите, пожалуйста, добить задачу или найти контрпример, а то совсем замучала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как показать невырожденность суммы двух периодических матриц
Сообщение01.11.2017, 13:18 


28/11/11
78
Контрпример: $A(t)= \begin{pmatrix} 1 & g(t) \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B(t)= \begin{pmatrix} 1 & h(t) \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, где $g(t+T_A)=g(t)$ и $h(t+T_B)=h(t)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как показать невырожденность суммы двух периодических матриц
Сообщение01.11.2017, 14:32 


12/11/13
78
В моём случае каждый элемент матриц $A(t)$ и $B(t)$ это периодическая функция. Но понятно, что я слишком обще сформулировал вопрос. Попробую переписать, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как показать невырожденность суммы двух периодических матриц
Сообщение01.11.2017, 14:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Можно перейти в другой базис, и каждый элемент будет периодической функцией.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как показать невырожденность суммы двух периодических матриц
Сообщение01.11.2017, 14:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Собственно, константа тоже является периодической функцией. С любым периодом, какой захочется.

 Профиль  
                  
 
 Несингулярность суммы периодических матриц
Сообщение01.11.2017, 15:12 


12/11/13
78
Добрый день!

Пусть
$$F_i (t): =X_i D_i(t) H_i,$$
где $i=1,\ldots, N$, $X_i \in \mathbb{R}^{m \times 2}$, $H_i \in \mathbb{R}^{2 \times m}$ и
$$D_i(t):=\begin{bmatrix}\sin(w_i t) & \cos(w_it) \\ \cos(w_i t) & -\sin(w_i t)\end{bmatrix}.$$
Все частоты $w_i>0$ различны, $w_i \ne w_j$ при $i\ne j$. Число $m$ чётное, $m=2n$. Все матрицы $X_i$, $H_i$ полного ранга, $\operatorname{rank}X_i=\operatorname{rank}H_i=2$ для всех $i$. Более того, расширенные матрицы
$$X:=\begin{bmatrix}X_1 & X_2 & \cdots & X_N\end{bmatrix}, \quad H:=\begin{bmatrix}H_1 \\ H_2 \\ \vdots \\ H_N\end{bmatrix}$$
также полного ранга, $\operatorname{rank}X=\operatorname{rank}H=\min\{2n,2N\}$.

Задача: показать, что для матрицы
$$F_\Sigma (t): =\sum_{i=1}^N F_i(t) = \sum_{i=1}^N X_i D_i(t) H_i,$$
справедливо $\det{F_\Sigma} \not \equiv 0$ при $N\ge n$, то есть при $N\ge n$ существует момент времени $t^*$, такой что $\det{F_\Sigma}(t^*)\ne 0$.

Что получилось сейчас: Можно видеть, что
$$F_i(t)+F_j(t) = X_iD_i(t)H_i + X_jD_j(t)H_j =\begin{bmatrix}X_i & X_j\end{bmatrix} \begin{bmatrix}D_i(t) & 0 \\ 0 & D_j(t)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}H_i \\ H_j\end{bmatrix},$$
и такое объединение можно провести для любого числа матриц $F_i(t)$. Тогда получим
$$F_\Sigma(t)=\begin{bmatrix}X_1 & X_2 & \cdots & X_N\end{bmatrix} \begin{bmatrix}D_1(t) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & D_2(t) & \cdots &0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & D_N(t)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}H_1 \\ H_2 \\ \vdots \\ H_N\end{bmatrix} = X D(t) H.$$
Матрица $D(t)$ это унитарная матрица $2N \times 2N$, и $\det D(t) \equiv (-1)^N$. Если $N<n$, то $\operatorname{rank}X<2N$, и тогда $F_\Sigma$ сингулярна для всех $t$. Если $N=n$, то обе матрицы $X$ и $H$ становятся квадратными несингулярными матрицами, и $\det F_\Sigma(t) = \det X \det D(t) \det H \equiv d_o \ne 0$. А вот что делать в случае $N>n$ -- непонятно. Можно показать, что для $N>n$ существуют такие моменты времени $t_k$, что $\det F_\Sigma(t_k)=0$. Но как показать, что $\det F_\Sigma(t)$ не тождественно ноль?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как показать невырожденность суммы двух периодических матриц
Сообщение01.11.2017, 15:12 


12/11/13
78
Да, неудачно сформулировал задачу. Переписал её в полном виде тут: topic122183.html
Спасибо.
 i  Lia: Темы объединены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как показать невырожденность суммы двух периодических матриц
Сообщение04.11.2017, 17:31 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Нашёл контрпример. Возьмём$$XDH=\begin{bmatrix}-\sin\alpha&\cos\alpha&\phantom{+}\cos\beta&\sin\beta\\\phantom{+}\cos\alpha&\sin\alpha&-\sin\beta&\cos\beta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos\varphi_1&-\sin\varphi_1&0&0\\\sin\varphi_1&\phantom{+}\cos\varphi_1&0&0\\0&0&\cos\varphi_2&-\sin\varphi_2\\0&0&\sin\varphi_2&\phantom{+}\cos\varphi_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\phantom{+}\cos\gamma&\sin\gamma\\-\sin\gamma&\cos\gamma\\\phantom{+}\cos\delta&\sin\delta\\-\sin\delta&\cos\delta\end{bmatrix}$$Тогда $\det(XDH)\equiv 0$.

Углы $\varphi_1, \varphi_2$ произвольны, в частности, можно взять $\varphi_1(t)=\omega_1 t,\;\varphi_2(t)=\omega_2 t$.

Блоки $2\times 2$ матрицы $D$ имеют не совсем такую структуру, как у Вас, они соответствуют классической матрице поворота в декартовых координатах на плоскости. Вы легко приведёте это к Вашему варианту перестановками строк/столбцов и сменой знаков.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group