Преобразование Лежандра

[btoom]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, применить преобразование Лежандра для $\frac{y^2}{y^2+x^2}$.

Продифференцировав сначала по x, затем по y, получим, что переменные двойственной функции - например, $\xi$ и $\eta$ - соответственно равны частным производным по x и y.

$\xi=-2xy/(x^2+y^2)$
$\eta=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)$

В общем, выразить отсюда x и y с целью их дальнейшего использования для вычисления двойственной функции, не представляет труда, но y получается напичканный корнями, хотя препод уверяет, что там все аккуратно сокращается и двойственная функция в итоге принимает почти такой же вид, что и искомая.

Можно также заметить, что $\xi^2+\eta^2=1/(x^2+y^2)^2$, откуда следует
$\xi=-2xy(\xi^2+\eta^2)$
$\eta=(x^2-y^2)(\xi^2+\eta^2)$
И, из первого уравнения,
$x=-\xi/2y(\xi^2+\eta^2)$
Тогда, из второго уравнения,
$y^2=(\xi^2-4y^2\eta(\xi^2+\eta^2))/(4y^2(\xi^2+\eta^2)^2)$

И это, по сути, верно, но потом корни и прочее. Возможно, где-то ошибаюсь. Наставьте студента на путь истинный, пожалуйста Заранее всем огромное спасибо.
Кстати, софта по этому преобразованию я не обнаружил.

[пианист]

btoom
Лежандр это в смысле $f(x,y) = \tilde{f}(p,q)$?
Ну тогда все правильно Ваш преподаватель говорит, никаких корней.
А вот что у Вас такое $\xi$ и $\eta$, неведомо :(

[btoom]

Я просто взял в качестве новых переменных новой (двойственной функции) функции кси и эта.
Так. В каком месте я свернул не в ту степь?

[Someone]

btoom в сообщении #1261096 писал(а):

… частным производным по x и y.

$\xi=-2xy/(x^2+y^2)$
$\eta=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)$

А какие-то странные у Вас частные производные…

[btoom]

Someone в сообщении #1261203 писал(а):

btoom в сообщении #1261096 писал(а):

… частным производным по x и y.

$\xi=-2xy/(x^2+y^2)$
$\eta=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)$

А какие-то странные у Вас частные производные…

Да, вы правы, квадрата не хватает. Спешка.

$\xi=-2xy/(x^2+y^2)^2$
$\eta=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2$

[teleglaz]

btoom в сообщении #1261275 писал(а):

Да, вы правы, квадрата не хватает. Спешка.

$\xi=-2xy/(x^2+y^2)^2$
$\eta=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2$

Всё равно, чего-то не то...

[btoom]

teleglaz в сообщении #1261298 писал(а):

btoom в сообщении #1261275 писал(а):

Да, вы правы, квадрата не хватает. Спешка.

$\xi=-2xy/(x^2+y^2)^2$
$\eta=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2$

Всё равно, чего-то не то...

На моей стороне высокие технологии
https://www.wolframalpha.com/input/?i=d ... E2%2By%5E2)

Ну и по правилувремен первого курса все так.

Возможно, я само правило преобразования не совсем верно понял.
Новая функция новых переменных = -старая в новых переменных + старая переменная на новую
$W(\xi, \eta)=-U+x\xi+y\eta$
Чтобы получить новые переменные кси и эта, мы продифференцируем всю эту запись сначала по x, затем по y. Получим (в нашем случае), что
$\xi=-2xy(\xi^2+\eta^2)$
$\eta=(x^2-y^2)(\xi^2+\eta^2)$
После этого мы должны переписать искомую функцию в новых переменных
$U=u(x(\xi),y(\eta))$
и затем произвести нужные операции и на выходе получить двойственную функцию.
Очевидно, что в случае одной переменной все довольно лайтово и позитивно.Например. А вот дальше как-то сложнее.

[teleglaz]

btoom в сообщении #1261096 писал(а):

для $\frac{y^2}{y^2+x^2}$

У вас условие тогда другое было.

[btoom]

teleglaz в сообщении #1261338 писал(а):

btoom в сообщении #1261096 писал(а):

для $\frac{y^2}{y^2+x^2}$

У вас условие тогда другое было.

К сожалению, не могу отредактировать первый пост. Да, там так:
$\frac{y}{y^2+x^2}$