Cюръективный гомоморфизм

[Romashka97]

Задача:
Предъявите такую группу $J$ и такой сюръективный гомоморфизм групп, действующий из группы $\mathbb {C}^{\times}$
(это множество $ \mathbb {C}\backslash\left\{ 0 \right\} $ с операцией умножения) в группу $J$, что $\operatorname{Ker} f$ есть множество,
состоящее из всех ненулевых вещественных и чисто мнимых чисел (чисел вида $r\cdot i$, где $r \in \mathbb {R}$).

Решение:
$f(z)=\frac{z^4}{|z^4|}$. Группа $J$ будет окружность.

Вопрос :
$1.$ А может ли мое решение являтся еще и биекцией?
$2.$ А как можно узнать, кто есть образ: хочу найти именно элементы образа----это точки с $|z| = 1$ ?

[Brukvalub]

Romashka97 в сообщении #1260974 писал(а):

$1.$ А может ли мое решение являтся еще и биекцией?

А чему равны $f(1), f(-1)$ ?

Romashka97 в сообщении #1260974 писал(а):

$2.$ А как можно узнать, кто есть образ: хочу найти именно элементы образа----это точки с $|z| = 1$ ?

Совсем уж глупый вопрос, складывается впечатление, что вы просто взяли чужое решение и ничего в нем не понимаете.

[vpb]

Ага, и у меня тоже ...

[Romashka97]

Brukvalub в сообщении #1261013 писал(а):

складывается впечатление, что вы просто взяли чужое решение и ничего в нем не понимаете.

На самом деле так получилось, что я угадал ответ, но сам все не до конца понял кажется, т.к. на лекции очень много было информации ( а тут как-то надо очень мало знать я так понял) ((((

-- 01.11.2017, 17:30 --

Brukvalub в сообщении #1261013 писал(а):

А чему равны $f(1), f(-1)$ ?

Точно! Это никакая не биекция: чистая сюръективность!

(Оффтоп)

$1.$Можете, пожалуйста, подсказать хорошую абстрактную задачу по группам, но не сложную ???!!!!
$2.$ Я так понял это задача, которая была в условии уже достойна называться абстрактной???

[kp9r4d]

(Оффтоп)

Romashka97 в сообщении #1261306 писал(а):

$2.$ Я так понял это задача, которая была в условии уже достойна называться абстрактной???

Кто мыслит абстрактно?

[Brukvalub]

Romashka97,вот вам задачник, решайте из него задачи подряд, пока не станет трудно.

[Romashka97]

kp9r4d

(Оффтоп)

kp9r4d в сообщении #1261321 писал(а):

Кто мыслит абстрактно?

Т.е. абстракция ---- это стереотип, от которого лучше избавиться и не употреблять это слово???!!!

[ikozyrev]

Brukvalub в сообщении #1261353 писал(а):

Romashka97,вот вам задачник, решайте из него задачи подряд, пока не станет трудно.

Шикарный задачник, спасибо за наводку.

[kp9r4d]

(Оффтоп)

Romashka97 в сообщении #1261378 писал(а):

Т.е. абстракция ---- это стереотип, от которого лучше избавиться и не употреблять это слово???!!!

Предвосхищаете Дерриду :з

[Romashka97]

kp9r4d
Спасибо, ясно, а вот если не сюръекция, то это всегда инъекция(и наоборот) ?

[arseniiv]

Нет. Возьмите нетривиальную группу $G$ и отправляйте все элементы любой группы в нейтральный элемент этой. Тут образы и слипаются — не инъекция — и не покрывают всей $G$ — не сюръекция.

[Romashka97]

arseniiv
Спасибо, а можно к примеру какой-нибудь конкретный пример такой группы?(это кстати морфизм называется???)

[Someone]

Romashka97 в сообщении #1263686 писал(а):

можно к примеру какой-нибудь конкретный пример такой группы

Э-э-э… А Вы вообще какую-нибудь группу знаете? Вот её и возьмите.

[arseniiv]

Romashka97
Нетривиальная — это в смысле не тривиальная, т. е. не группа из одного элемента. Вот с ней эта штука, разумеется, не пройдёт!

Romashka97 в сообщении #1263686 писал(а):

(это кстати морфизм называется???)

Морфизм — это, как правило, полный синоним гомоморфизма. Просто после распространения языка теории категорий стало неудобно постоянно говорить об этом общем случае так длинно, вот начали сокращать до просто морфизмов, или стрелок. В алгебре, насколько понимаю, вариант гомоморфизм пока более-менее популярен. В общем, в любом случае вас на данный момент поймут, если и поправят.