2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Критерий Коши
Сообщение30.10.2017, 21:44 


10/10/17
181
Используя критерий Коши исследовать сходимость последовательности:
$$Xn=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\cos k!}{(2k-1)(2k+1)}$$
Вот все, что я пока смог проделать:
$$Xn=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\cos k!}{4k^2-1}$$
$$Xn=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\cos 1\cdot\cos 2\cdot\cos 3\cdot ...\cdot\cos (k-1)\cdot\cos k}{4k^2-1}$$
$$Xn=\frac{\cos 1!}{3}+\frac{\cos 2!}{15}+\frac{\cos 3!}{35}+...+\frac{\cos (k-1)!}{4(k-1)^2-1}+\frac{\cos k!}{4k^2-1}$$
$\left\lvert Xn-Xp\right\rvert<\varepsilon$
$$Xn-Xp=(\frac{\cos 1!}{3}+\frac{\cos 2!}{15}+\frac{\cos 3!}{35}+...+\frac{\cos k!}{4k^2-1})-(\frac{\cos 1!}{3}+\frac{\cos 2!}{15}+\frac{\cos 3!}{35}+...+\frac{\cos p!}{4p^2-1})$$
$n>p$
$$\left\lvert Xn-Xp\right\rvert=\left\lvert\frac{\cos (p+1)!}{4(p+1)^2-1}+...+\frac{\cos k!}{4k^2-1}\right\rvert$$
$$Xn-Xp=\frac{\cos (p+1)!}{4(p+1)^2-1}+...+\frac{\cos k!}{4k^2-1}$$
А что дальше делать? Вроде нужно сделать неравенство с бОльшей последовательностью, но как?
Кажется, я еще $n$ с $k$ перепутал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши
Сообщение30.10.2017, 21:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Косинус тут лишь для отвлечения внимания (и вообще задачка если не нелепа, то тогда уж точно провокационна). Тупо оцените модуль разности сум через сумму модулей и затем ещё тупее модуль каждого косинуса единицей. Затем разбейте каждое из полученных слагаемых в разность простейших дробей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши
Сообщение30.10.2017, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва

(Оффтоп)

megatumoxa в сообщении #1260590 писал(а):
$$Xn=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\cos k!}{4k^2-1}$$
$$Xn=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\cos 1\cdot\cos 2\cdot\cos 3\cdot ...\cdot\cos (k-1)\cdot\cos k}{4k^2-1}$$
Ой! :facepalm:

Слушайтесь ewertа, он плохому не научит.

P.S. Индекс пишут так: X_n или X_{abcd}: $X_n$ или $X_{abcd}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши
Сообщение30.10.2017, 22:52 


10/10/17
181
Цитата:
Тупо оцените модуль разности сумм через сумму модулей...

Можно вот тут поподробнее? Не совсем понимаю данное действие

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши
Сообщение31.10.2017, 00:08 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Неравенство треугольника знаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши
Сообщение31.10.2017, 00:58 


10/10/17
181
Otta в сообщении #1260666 писал(а):
Неравенство треугольника знаете?

Примерно представляю, но мы по программе еще не изучали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши
Сообщение31.10.2017, 01:21 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Это школа. :)
$|a+b|\le ?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши
Сообщение31.10.2017, 01:28 


10/10/17
181
Otta в сообщении #1260678 писал(а):
Это школа. :)
$|a+b|\le ?$

Ааа, ну это интуитивно понятно)) Я просто думал, что речь идет о какой-то более сложной интерпретации. $|a+b|\le c$

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши
Сообщение31.10.2017, 01:31 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Кто такой $c$? его слева не было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши
Сообщение31.10.2017, 11:23 


10/10/17
181
Otta в сообщении #1260680 писал(а):
Кто такой $c$? его слева не было.

$|a+b|\leqslant|(a+1)+(b+1)|$ Вот так тогда? Что вообще нужно делать дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши
Сообщение31.10.2017, 13:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
megatumoxa в сообщении #1260750 писал(а):
$|a+b|\leqslant|(a+1)+(b+1)|$ Вот так тогда?
Разумеется, не так. И это неравенство даже неверное: подставьте, например, $a=b=-1$.

-- Вт окт 31, 2017 13:04:12 --

megatumoxa в сообщении #1260671 писал(а):
Otta в сообщении #1260666 писал(а):
Неравенство треугольника знаете?

Примерно представляю, но мы по программе еще не изучали.
Неравенство треугольника изучают в школе в курсе планиметрии. По-моему, практически сразу, как появляются треугольники. В каком конкретно классе — не помню.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши
Сообщение31.10.2017, 13:13 


05/09/16
11468
megatumoxa в сообщении #1260750 писал(а):
Что вообще нужно делать дальше?

Использовать то, что модуль косинуса не превышает единицу, т.е. $\forall x, |\cos x|\le 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши
Сообщение31.10.2017, 16:44 


10/10/17
181
При чем тут а и b? О чем речь вообще идет сейчас? Меня интересует как оценить модуль разности сумм через сумму модулей. Что мне с этим неравенством треугольников делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши
Сообщение31.10.2017, 17:20 


05/09/16
11468
megatumoxa в сообщении #1260864 писал(а):
При чем тут а и b?

Вы не горячитесь, выбирайте нужное из кучки:
$|a+b|\le|a|+|b|$ и $|a-b|\le|a|+|b|$
но
$|a+b|\ge||a|-|b||$ и $|a-b|\ge||a|-|b||$

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши
Сообщение31.10.2017, 20:23 


10/10/17
181
Цитата:
$|a-b|\le|a|+|b|$

Вот это выражение?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group