2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 случайная величина и вероятности её значений
Сообщение30.10.2017, 21:31 


14/04/15
187
помогите мне пожалуйста с задачей по теории вероятностей. Случайная величина $\eta$ является средним арифметическим 1600 независимых одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием, равным 2, и дисперсией, равной 4. Нужно найти вероятность того, что $\eta$ принимает значения в промежутке (1.95;2.05).
Подскажите пожалуйста, как начать решать данную задачу.

 Профиль  
                  
 
 Re: случайная величина и вероятности её значений
Сообщение30.10.2017, 21:33 


20/03/14
12041
Центральная предельная теорема.

 Профиль  
                  
 
 Re: случайная величина и вероятности её значений
Сообщение30.10.2017, 23:21 


14/04/15
187
вот центральная предельная теорема:
последовательность случайных величин $\xi_1,\xi_2,...,\xi_n,...$ удовлетворяет центральной предельной теореме, если для любого $x\in R$
$P(\frac{\xi_1+...+\xi_n-M(\xi_1+...+\xi_n)}{ \sqrt{D(\xi_1+...+\xi_n)}}\leqslant x ) \mapsto \Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}}dt$

но в задаче случайная величина это среднее арифметическое этих 1600 случайных величин, а не сумма. И так как эти величины независимые, то математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий, и также и с дисперсией.
То есть, как применить эту теорему?

 Профиль  
                  
 
 Re: случайная величина и вероятности её значений
Сообщение31.10.2017, 00:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Если величину делят на $n$, то ее матожидание делится на $n$, а дисперсия -- на $n^2$. Как при этом изменится дробь в скобках?

Среднее арифметическое будет иметь нормальное распределение, как и сумма с.в.

UPD почти нормальное, в пределах точности вычислений

 Профиль  
                  
 
 Re: случайная величина и вероятности её значений
Сообщение31.10.2017, 00:44 


20/03/14
12041
Aiyyaa в сообщении #1260645 писал(а):
но в задаче случайная величина это среднее арифметическое этих 1600 случайных величин, а не сумма.

А по сумме никак среднее арифметическое не найти?

 Профиль  
                  
 
 Re: случайная величина и вероятности её значений
Сообщение31.10.2017, 01:41 


14/04/15
187
так как $\eta$ это среднее арифметическое, а в дроби сумма, то нужно делить, и поэтому дробь
$P(\frac{\xi_1+...+\xi_n-M(\xi_1+...+\xi_n)}{ \sqrt{D(\xi_1+...+\xi_n)}}\leqslant x ) \mapsto \Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}}dt$
принимает вид
$P(\frac{  \frac{1}{n}  \cdot (\xi_1+...+\xi_n)-  \frac{1}{n}\cdot M(\xi_1+...+\xi_n)}{ \sqrt{D(\xi_1+...+\xi_n) \cdot \frac{1}{n^2}}}\leqslant x ) \mapsto \Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}}dt$
?

 Профиль  
                  
 
 Re: случайная величина и вероятности её значений
Сообщение31.10.2017, 01:45 


20/03/14
12041
Да. Видите среднее арифметическое?

 Профиль  
                  
 
 Re: случайная величина и вероятности её значений
Сообщение31.10.2017, 21:19 


14/04/15
187
так как $\frac{1}{n}\cdot M(\xi_1+...+\xi_n)=M(\right \frac{\xi_1+...+\xi_n}{n} )\left  =2$ и
$D(\xi_1+...+\xi_n) \cdot \frac{1}{n^2}=D(\right \frac{\xi_1+...+\xi_n}{n^2})\left =4 $
то дробь становится
$P(\frac{  \frac{1}{1600}  \cdot (\xi_1+...+\xi_n)-  2}{ \sqrt{4}}\leqslant x ) \mapsto \Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}}dt$
?
Цитата:
Если величину делят на $n$, то ее матожидание делится на $n$, а дисперсия -- на $n^2$

почему дисперсия делится на $n^2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: случайная величина и вероятности её значений
Сообщение31.10.2017, 21:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Aiyyaa в сообщении #1260939 писал(а):
почему дисперсия делится на $n^2$?
А что такое дисперсия?

 Профиль  
                  
 
 Re: случайная величина и вероятности её значений
Сообщение31.10.2017, 22:10 


14/04/15
187
Xaositect в сообщении #1260944 писал(а):
А что такое дисперсия?


дисперсия это матожидание от квадрата случайной величины минус маожидание случайной величины в квадрате:
$D\xi=M(\xi^2)-(M\xi)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: случайная величина и вероятности её значений
Сообщение31.10.2017, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
И если мы разделим $\xi$ на $n$, то как изменится $\xi^2$ и $(M\xi)^2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: случайная величина и вероятности её значений
Сообщение31.10.2017, 22:32 


14/04/15
187
Xaositect в сообщении #1260961 писал(а):
И если мы разделим $\xi$ на $n$, то как изменится $\xi^2$ и $(M\xi)^2$?

если делить $\xi$ на $n$, то получится $\frac{\xi}{n}$, тогда $\xi^2=\frac{\xi^2}{n^2}$, а её матожидание будет $M\ \frac{\xi}{n}=\frac{1}{n}M\xi$, тогда $(M\xi)^2=\frac{1}{n^2}(M\xi)^2$
вроде понятно, почему дисперсия делится на $n^2$
так как дальше с дробью?

 Профиль  
                  
 
 Re: случайная величина и вероятности её значений
Сообщение31.10.2017, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
А что непонятно с дробью?

 Профиль  
                  
 
 Re: случайная величина и вероятности её значений
Сообщение31.10.2017, 23:02 


14/04/15
187
как мне применить данную дробь

$P(\frac{  \frac{1}{1600}  \cdot (\xi_1+...+\xi_n)-  2}{ \sqrt{4}}\leqslant x ) \mapsto \Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}}dt$
чтобы найти вероятность того, что $\eta$ принимает значения в промежутке (1.95;2.05)?

 Профиль  
                  
 
 Re: случайная величина и вероятности её значений
Сообщение01.11.2017, 00:12 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Aiyyaa в сообщении #1260939 писал(а):
так как
$D(\xi_1+...+\xi_n) \cdot \frac{1}{n^2}=D(\right \frac{\xi_1+...+\xi_n}{n^2})\left =4 $
Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий
$$\frac 1 {n^2} \mathsf D \sum_{i=1}^n\xi_i = \frac 1 {n^2} \sum_{i=1}^n \mathsf D \xi_i   = \frac 4 n.$$Следовательно,
$$\mathsf P \left\{\sqrt n \frac {\eta - 2} 2 \le x \right\} \to \Phi(x).$$Перепишем
$$\mathsf P \left \{\sqrt n \frac {\eta - 2} 2 \le x \right\} = \mathsf P \{\eta \le 2+ 2x /\sqrt n \}$$Теперь нужно подобрать два значения $x$, такие чтобы получились границы промежутка (1.95;2.05).

-- Вт 31.10.2017 23:16:55 --

Затем воспользоваться таблицами или программой для получения значений $\Phi(x_1)$ и $\Phi(x_2)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K, Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group