Матричное умножение согласованное с тензорной записью.

[sherzod_]

Здравствуйте, пытаюсь разобраться с тензорами.

В книге Шарипова "Быстрое введение в тензорный анализ" встретил такое упражнение: "Приведите несколько примеров матричного умножения, которые совместимы с тензорной системой обозначений Эйнштейна и таких, которые не совместимы."

Какую бы матрицу я не взял (по размерам), при попытке умножить матрицу на вектор (если только размеры матрицы и вектора согласованы), у меня всегда получаются в суммах согласованные индексы, то есть я могу свернуть сумму по нотации Эйншейтна.

Мой первый вопрос, получается, что при умножении матрицы на вектора умножение будет всегда совместимо с нотацией Эйнштейна?

Рассогласованость индексов (невозможность свернуть всю сумму по нотации), получается только например при умножении двух квадратных матриц и вектора. Можно ли придумать просто две матрицы с несогласованными индексами в суммах?

[arseniiv]

sherzod_ в сообщении #1260544 писал(а):

Рассогласованость индексов (невозможность свернуть всю сумму по нотации), получается только например при умножении двух квадратных матриц и вектора.

Да ладно? $a^i{}_j b^j{}_k v^k$. А автор не мог иметь в виду не только обычное произведение матриц, но и какие-нибудь другие типа поэлементного? Обычное буквально по определению не может быть «несогласованным».

Кажется, было бы хорошо, если бы вы привели ещё побольше контекста.

[sherzod_]

Спасибо

arseniiv в сообщении #1260555 писал(а):

Да ладно? $a^i{}_j b^j{}_k v^k$.

Тут я не очень понял, как можно свернуть строки результирующей матрицы так, как вы указали?

$$\begin{pmatrix} a_1_1 & a_1_2 \\ a_2_1 & a_2_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1_1 & b_1_2 \\ b_2_1 & b_2_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}v_1 a_1_1 b_1_1 + v_1 a_1_2 b_2_1 + v_2 a_1_1 b_1_2 + v_2 a_1_2 b_2_2 \\ v_1 a_2_1 b_1_1 + v_1 a_2_2 b_2_1 + v_2 a_2_1 b_1_2 + v_2 a_2_2 b_2_2 \end{pmatrix}$$

arseniiv в сообщении #1260555 писал(а):

Кажется, было бы хорошо, если бы вы привели ещё побольше контекста.

Нагуглил тут книжку
http://d.theupload.info/down/xbnoknoihv61ejbbi9lj8v6pumichjg4/sharipov_r_a__bystroe_vvedenie_v_tenzornyi_analiz.pdf
страница 16, упражнение 5.7

[arseniiv]

sherzod_ в сообщении #1260576 писал(а):

Тут я не очень понял, как можно свернуть строки результирующей матрицы так, как вы указали?

По определению. $(ABv)^i = ((AB)v)^i = (AB)^i{}_j\, v^j = A^i{}_k\, B^k{}_j\, v^j$.

[sherzod_]

arseniiv в сообщении #1260593 писал(а):

sherzod_ в сообщении #1260576 писал(а):

Тут я не очень понял, как можно свернуть строки результирующей матрицы так, как вы указали?

По определению. $(ABv)^i = ((AB)v)^i = (AB)^i{}_j\, v^j = A^i{}_k\, B^k{}_j\, v^j$.

Простите, я совсем нуб и не могу понять. Если пробовать расписать в виде сумм вашу запись, у меня получается что каждой строке должен соответствовать одинаковый индекс при векторе v, в то время как в одной строке у меня два индекса для v. Можете показать вашу запись в виде обычных сумм?

[arseniiv]

sherzod_ в сообщении #1260576 писал(а):

страница 16, упражнение 5.7

Понятно, в чём дело. Если, конечно, связать себе руки и обозначать компоненты перемножаемых матриц $A_{ij}$ и $B_{kl}$ и попытаться соблюсти соглашения, получится некорректная запись $A_{ij} \delta^{jk} B_{kl}$, ибо никаких $\delta^{jk}$ не бывает. Соглашения возникли не просто так, и компоненты матриц в такой записи тоже нельзя записывать абы как — или матрицы представляют координаты какого-то тензора в каком-то базисе, и тогда положения индексов полностью определяются валентностью оператора (и только для таких матриц исходно соглашения и введены), или это «матрица сама по себе», и тогда довольно ясно, что индекс, пробегающий строки, и индекс, пробегающий столбцы, не должны быть оба верхними или оба нижними (или уж мы совсем плюём на ограничение и перестаём различать верхнесть-нижнесть). Остальные случаи более-менее уверенно распихиваются по этим двум.

-- Вт окт 31, 2017 00:05:26 --

Вообще, позволю себе быть резким и скажу, что некоторые авторы, думая, что читатели не поймут, переупрощают (попомним как раз Эйнштейна: «всё должно быть так просто, насколько возможно, но не проще») и в результате делают хуже, и, на мой вкус, ещё хуже, чем было бы, напиши они последовательную книгу с достаточным количеством примеров, чтобы уравновесить абстрактность (типа «Введения в алгебру» Кострикина, хотя многие штуки о матрицах из первого тома подкрепляются обоснованиями во втором, посвящённом линейной алгебре исключительно).

-- Вт окт 31, 2017 00:09:08 --

sherzod_ в сообщении #1260602 писал(а):

Простите, я совсем нуб и не могу понять. Если пробовать расписать в виде сумм вашу запись, у меня получается что каждой строке должен соответствовать одинаковый индекс при векторе v, в то время как в одной строке у меня два индекса для v. Можете показать вашу запись в виде обычных сумм?

Не понял описание того, что не так, но запись-то, конечно, покажу.

$$(ABv)^i = ((AB)v)^i = \sum_j (AB)^i{}_j\, v^j = \sum_j \left(\sum_k A^i{}_k\, B^k{}_j\right) v^j = \sum_j\sum_k A^i{}_k\, B^k{}_j\, v^j$$

(дальше знаки суммирования можно между собой при желании переставить).

[sherzod_]

arseniiv, понял, спасибо. Надо было взять один индекс при А не зависящим от суммы, не догадался.
Насчет обозначения компонент перемножаемых матриц, туманно, но вроде ухватываю в чем дело, дело в соглашениях, я почему-то сначала подумал что несогласованности могут возникнуть при обычном умножении, а тензорная запись верна для подмножества матричных выражений.