Определение предела по Коши

[student1138]

Согласно определению предела по Коши для любого $x$ из $\delta$-окрестности должно выполняться $|f(x)-A| < \varepsilon$.
Но определение не требует чтобы $\delta$-окрестность была непустой. В случае же пустой окрестности определение будет выполняться т.к. ни одна точка из окрестности не нарушает неравенство $|f(x)-A| < \varepsilon$. А значит если, например на каком-то отрезке функция не определена то любое значение будет являться пределом в любой точке этого отрезка.

Например, возьмем какую-то функцию $f(x): \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, которая на отрезке $[0,1]$ не определена а в остальной области - обычная непрерывная функция. Возьмем любое значение $A \in \mathbb{R}$. Тогда например в точке $x_0 = 0.5$ можно взять окрестность радиусом $0.25$. Тогда для любого $\varepsilon$ и любого $x$ из этой окрестности неравенство $|f(x)-A| < \varepsilon$ не нарушено а значит $A$ является пределом функции в этой точке.

Как это понимать?

[ewert]

student1138 в сообщении #1260381 писал(а):

Но определение не требует чтобы $\delta$-окрестность была непустой.

В простейшем варианте -- требует (правда, оговаривая, что окрестность может быть выколотой или односторонней). В более продвинутом -- требует, чтобы точка была предельной для области определения.

student1138 в сообщении #1260381 писал(а):

Тогда для любого $\varepsilon$ и любого $x$ из этой окрестности неравенство $|f(x)-A| < \varepsilon$ не нарушено а значит $A$ является пределом функции в этой точке.

Как это понимать?

Как бесполезную игру слов.

[student1138]

Цитата:

В простейшем варианте -- требует (правда, оговаривая, что окрестность может быть выколотой или односторонней). В более продвинутом -- требует, чтобы точка была предельной для области определения.

Вот скопировал дословно из википедии:
$\lim\limits_{x\to a}{f(x)} = A$ $\Longleftrightarrow$ \forall \varepsilon>0 \; \exists \delta = \delta(\varepsilon)>0: \forall x \; 0<|x-x_0|< \delta \Rightarrow |f(x)-A| < \varepsilon$
Значит это определение ошибочное т.к. в нем не указано что окрестность должна быть непустой?

[grizzly]

student1138 в сообщении #1260394 писал(а):

Вот скопировал дословно из википедии:

Нехорошо обманывать. Что ж Вы думаете, мы поленимся проверить?

[gris]

Залез нарочно в Википедию и там увидел:

Цитата:

Рассмотрим функцию $f ( x )$ , определённую на некотором множестве $X$, которое имеет предельную точку $x_{0}$ (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).

Это в разделе "Определения". Общая преамбула ко всем дальнейшим определениям. И по Коши, и по Гейне и т.д.

[student1138]

grizzly в сообщении #1260396 писал(а):

student1138 в сообщении #1260394 писал(а):

Вот скопировал дословно из википедии:

Нехорошо обманывать. Что ж Вы думаете, мы поленимся проверить?

Еще раз проверил, отличий не нашел. Вот здесь смотрел, раздел "Предел функции по Коши". Конкретно в этом месте не вижу требования чтобы окрестность была непустая.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8#.D0.9F.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.B8_.D0.BF.D0.BE_.D0.9A.D0.BE.D1.88.D0.B8

-- 30.10.2017, 11:06 --

gris в сообщении #1260397 писал(а):

Залез нарочно в Википедию и там увидел:

Цитата:

Рассмотрим функцию $f ( x )$ , определённую на некотором множестве $X$, которое имеет предельную точку $x_{0}$ (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).

А все понял. Они это вверху написали, я не видел :)

[ewert]

Строго говоря, там формулировки неаккуратны. Раз уж у них точка -- всего лишь предельная, то в определении по Гейне следовало сказать, что последовательность составлена из элементов области определения. А в определении по Коши -- что иксы не просто удовлетворяют неравенствам, но и входят в область определения (т.е. берутся из пересечения этой области с окрестностью). Конечно, всё это подразумевается, но сформулировано всё-таки неаккуратно.

Ну и в формальной записи определения по Коши последняя стрелочка совершенно неуместна.

[student1138]

Кстати раз предел рассматривается только для предельных точек, то выходит что если например функция состоит ровно из одной точки то в этой точке предела нет (хотя значение функции и есть).

Например возьмем такую функцию $1\to 1, 2\to 1, 3\to 1, ....$. Хоть функция и определена в точках 1,2,3,... предел в этих точках у нее не определен. Это понятно, но немного странно, почему так? Интуитивно кажется что если функция имеет значение в какой-то точке то очевидно что ее предел равен этому значению.

[teleglaz]

student1138 в сообщении #1260409 писал(а):

Интуитивно кажется что если функция имеет значение в какой-то точке то очевидно что ее предел равен этому значению.

Интуиция не самый лучший помощник в этом деле. Классический пример $\lim \limits_{x\to 0}{\text{sgn}(x)}$ тому подтверждение. А ещё лучше $\lim \limits_{x\to 0}{\left|\text{sgn}(x)\right|}$.

[ewert]

student1138 в сообщении #1260409 писал(а):

Хоть функция и определена в точках 1,2,3,... предел в этих точках у нее не определен. Это понятно, но немного странно, почему так?

Определить-то формально можно, только практически бесполезно, и обычно этого не делают.

Скажем, функция, определённая на некотором множестве, называется непрерывной (не в топологическом, а в "обыденном" смысле), если для любой предельной точки области определения, входящей в область, значение функции в этой точке равно пределу при стремлении к ней. Тем самым изолированные точки области определения не участвуют в определении непрерывности. Если же расширить определение предела на изолированные точки естественным образом, то они уже будут формально участвовать, но никакой новой информации это давать не будет.