2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Задача о движении жидкости во вращающейся трубе
Сообщение01.11.2017, 22:06 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
Привожу вывод вышеупомянутого уравнения для $\omega(r, t)$, исходя из основного уравнения динамики вращательного движения (альтернатива Навье-Стоксу).
Рассмотрим цилиндрический слой жидкости толщиною $dr$ и высотою $z$, находящийся на расстоянии $r$ от оси цилиндра. Имеем: $dJ \frac {\partial \omega}{\partial t}=(F_r-F_{r+dr})r$. Здесь $F$ - сила вязкости. Далее, $dJ=r^2 dm=r^2\rho z 2 \pi rdr$.
Используя формулу Ньютона для силы вязкого трения, будем иметь: $F_r=-\eta\frac{\partial \upsilon}{\partial r}z 2 \pi r$, $F_{r+dr}=-\eta\left(\frac{\partial \upsilon}{\partial r} +\frac{\partial ^2\upsilon}{\partial r^2}dr\right)z 2 \pi (r+dr)$. Тогда с учетом равенства $\upsilon=\omega r$ окончательно получим:
$\frac {1}{\nu}\frac {\partial \omega}{\partial t}=\frac{\partial ^2\omega}{\partial r^2}+\frac {3}{r}\frac {\partial \omega}{\partial r}+\frac {\omega}{r^2}$.
Здесь $\nu$ -кинематическая вязкость. Таким образом, появилась таки тройка во втором слагаемом но и вылезло третье слагаемое $\omega/r^2$ которого быть никак не должно. Где же вкралась ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о движении жидкости во вращающейся трубе
Сообщение01.11.2017, 23:18 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
Ну а решение "правильного уравнения"? получаемое методом разделения переменных (метод Фурье), следующее:
$\omega(r,t)=A \frac{J_1(\sqrt{-C}r)}{r}\exp(\nu Ct)$, где $J_1(x)$-функция Бесселя первого рода с порядком равным 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о движении жидкости во вращающейся трубе
Сообщение01.11.2017, 23:41 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Наконец то я дождался, что кто-то не полезет в ЛЛ, а сам ручками выведет это уравнение.
У меня получилось уравнение без третьего слагаемого. Так что ищите ошибку.
Подсказка. У вас должна вылезти вторая производная скорости по радиусу, а скорость $r\omega$.
Так что член с $\omega$ у вас просто сократится при вычитании однго момента сил из другого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о движении жидкости во вращающейся трубе
Сообщение01.11.2017, 23:59 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
fred1996 в сообщении #1261415 писал(а):
Наконец то я дождался, что кто-то не полезет в ЛЛ, а сам ручками выведет это уравнение.
У меня получилось уравнение без третьего слагаемого. Так что ищите ошибку.
Подсказка. У вас должна вылезти вторая производная скорости по радиусу, а скорость $r\omega$.
Так что член с $\omega$ у вас просто сократится при вычитании однго момента сил из другого.

fred1996
Предлагаю "запузырить" статью совместную по этой задачке в American Journal of Physics. Им понравится)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о движении жидкости во вращающейся трубе
Сообщение02.11.2017, 06:16 


27/08/16
9426
reterty в сообщении #1261411 писал(а):
Ну а решение "правильного уравнения"? получаемое методом разделения переменных (метод Фурье), следующее:
Это всё замечательно, но есть одна загвоздка. Это решение уравнения, но не решение исходной задачи про чашку с чаем. Осталось подобрать условия, при которых движение будет оставаться ламинарным. Например, вращается чашка с мёдом...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о движении жидкости во вращающейся трубе
Сообщение02.11.2017, 09:18 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
realeugene в сообщении #1261457 писал(а):
reterty в сообщении #1261411 писал(а):
Ну а решение "правильного уравнения"? получаемое методом разделения переменных (метод Фурье), следующее:
Это всё замечательно, но есть одна загвоздка. Это решение уравнения, но не решение исходной задачи про чашку с чаем. Осталось подобрать условия, при которых движение будет оставаться ламинарным. Например, вращается чашка с мёдом...

ротор линейной скорости в данной задаче ненулевой. Какое же это движение по Вашему? То что такое движение может быть неустойчивым и распадаться на отдельные мелкие вихри это уже другая проблема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о движении жидкости во вращающейся трубе
Сообщение02.11.2017, 09:32 


27/08/16
9426
reterty в сообщении #1261484 писал(а):
ротор линейной скорости в данной задаче ненулевой.
А это тут при чём?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о движении жидкости во вращающейся трубе
Сообщение05.11.2017, 09:45 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
reterty в сообщении #1261386 писал(а):
Привожу вывод вышеупомянутого уравнения для $\omega(r, t)$, исходя из основного уравнения динамики вращательного движения (альтернатива Навье-Стоксу).
Рассмотрим цилиндрический слой жидкости толщиною $dr$ и высотою $z$, находящийся на расстоянии $r$ от оси цилиндра. Имеем: $dJ \frac {\partial \omega}{\partial t}=(F_r-F_{r+dr})r$. Здесь $F$ - сила вязкости. Далее, $dJ=r^2 dm=r^2\rho z 2 \pi rdr$.
Используя формулу Ньютона для силы вязкого трения, будем иметь: $F_r=-\eta\frac{\partial \upsilon}{\partial r}z 2 \pi r$, $F_{r+dr}=-\eta\left(\frac{\partial \upsilon}{\partial r} +\frac{\partial ^2\upsilon}{\partial r^2}dr\right)z 2 \pi (r+dr)$. Тогда с учетом равенства $\upsilon=\omega r$ окончательно получим:
$\frac {1}{\nu}\frac {\partial \omega}{\partial t}=\frac{\partial ^2\omega}{\partial r^2}+\frac {3}{r}\frac {\partial \omega}{\partial r}+\frac {\omega}{r^2}$.
Здесь $\nu$ -кинематическая вязкость. Таким образом, появилась таки тройка во втором слагаемом но и вылезло третье слагаемое $\omega/r^2$ которого быть никак не должно. Где же вкралась ошибка?

Имеем: $F_r-F_{r+dr}=2 \pi \eta z dr\left( \frac{\partial \upsilon}{\partial r} +\frac{\partial ^2\upsilon}{\partial r^2}r\right)$. Далее, $\frac{\partial \upsilon}{\partial r}=\frac{\partial \omega}{\partial r}r+\omega$; $\frac{\partial ^2\upsilon}{\partial r^2}=\frac{\partial ^2\omega}{\partial r^2}r+2\frac{\partial \omega}{\partial r}$.
Тогда $F_r-F_{r+dr}=2 \pi \eta z dr\left( \frac{\partial ^2\omega}{\partial r^2}r^2+3\frac{\partial \omega}{\partial r} r+\omega \right)$. ... и ни с чем $\omega$, стоящее в скобке, не сокращается(((

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о движении жидкости во вращающейся трубе
Сообщение05.11.2017, 14:35 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
reterty
Если вращение происходит с постоянной угловой скоростью, результирующая сила должна быть ноль. То есть движение с постоянной угловой скоростью должно удовлетворять уравнению. А у вас нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о движении жидкости во вращающейся трубе
Сообщение05.11.2017, 16:25 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
fred1996 в сообщении #1262454 писал(а):
reterty
Если вращение происходит с постоянной угловой скоростью, результирующая сила должна быть ноль. То есть движение с постоянной угловой скоростью должно удовлетворять уравнению. А у вас нет.

Уважаемый fred1996! Вы абсолютно правы. И я это понимал, когда писал. Но не вижу я ошибку в выводе. Со стороны всегда виднее. Гляньте плз, вывод то простой

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о движении жидкости во вращающейся трубе
Сообщение05.11.2017, 16:35 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Подсказка.
У вас сила пропорциональна градиенту скорости в инерциальной системе. Во вращающейся системе нужно брать градиент относительной скорости в самой системе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о движении жидкости во вращающейся трубе
Сообщение05.11.2017, 20:53 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
fred1996 в сообщении #1262491 писал(а):
Подсказка.
У вас сила пропорциональна градиенту скорости в инерциальной системе. Во вращающейся системе нужно брать градиент относительной скорости в самой системе.

Я и беру, с учетом того, что во вращающейся системе скорость изменяется в радиальном направлении не только за счет изменения радиуса но и за счет измения угловой скорости как функции от радиуса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о движении жидкости во вращающейся трубе
Сообщение06.11.2017, 07:58 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Так вот та, которая изменяется за счет изменения радиуса при постоянной угловой скорости, она и не считается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о движении жидкости во вращающейся трубе
Сообщение06.11.2017, 22:40 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
reterty
У Вас остались вопросы?

-- Пн ноя 06, 2017 22:12:37 --

Разделим вращающуюся жидкость цилиндрической поверхностью $r=\operatorname{const}$ на две части — внешнюю и внутреннюю. Выделим малый участок на цилиндрической поверхности. Благодаря вязкости внешняя часть действует через этот участок на внутреннюю с силой, направленной по касательной. Пусть поверхностная плотность силы равна $\sigma$.

Давайте разобьём проблему на две.
1) Почему $\sigma=\eta\left(\frac{\partial v}{\partial r}-\frac{v}{r}\right)$, а не $\sigma=\eta\frac{\partial v}{\partial r}$, вопреки формуле Ньютона?
2) Как, имея правильную формулу для $\sigma$, получить правильное уравнение для $v$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о движении жидкости во вращающейся трубе
Сообщение07.11.2017, 17:59 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
svv в сообщении #1262885 писал(а):
reterty
У Вас остались вопросы?

-- Пн ноя 06, 2017 22:12:37 --

Разделим вращающуюся жидкость цилиндрической поверхностью $r=\operatorname{const}$ на две части — внешнюю и внутреннюю. Выделим малый участок на цилиндрической поверхности. Благодаря вязкости внешняя часть действует через этот участок на внутреннюю с силой, направленной по касательной. Пусть поверхностная плотность силы равна $\sigma$.

Давайте разобьём проблему на две.
1) Почему $\sigma=\eta\left(\frac{\partial v}{\partial r}-\frac{v}{r}\right)$, а не $\sigma=\eta\frac{\partial v}{\partial r}$, вопреки формуле Ньютона?
2) Как, имея правильную формулу для $\sigma$, получить правильное уравнение для $v$?

Уважаемый svv!
Меня для начала все же интересует пункт 1). Из школьного курса мне известно, что при переходе в неинерциальную СО добавляются две ( в общем случае) силы инерции.
а вот как перенормируется градиент в ней, найти строгого математического обоснования не могу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 47 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group