2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение20.11.2017, 02:39 
Аватара пользователя


11/04/16
191
Москва
$$\frac{d\vec{e_r}} {dt}=  \omega \vec{e_\varphi} $$

(Оффтоп)

Это здорово) Но я, пока, по-прежнему не осознаю смысл $\vec{e_\varphi}$ и $\vec{e_r}$, но продолжаю вам верить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение20.11.2017, 02:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
А теперь посмотрим, чего мы добились. Мы рассматривали материальную точку, двигающуюся по окружности с постоянной (пока что) угловой скоростью. Её радиус-вектор (который вращается между прочим) нужно продифференцировать, чтобы получить скорость:
$$\vec{v}=\frac{d}{dt}(R\vec{e_r})=R\frac{d\vec{e_r}}{dt}=\omega R\vec{e_{\varphi}}.$$
Вот получилось, что скорость направлена по касательной к окружности, модуль её нашли. А что изменилось бы, будь угловая скорость непостоянной? Просто зависимость $\varphi(t)$ не была бы $\omega t$ - и вместо множителя $\omega$ появилась бы производная $\frac{d\varphi}{dt}$. Всё равно скорость была направлена по касательной.

Попробуете провести анализ для ускорения сами? Рассмотрите движение по окружности со скоростью, которая может и не быть постоянной по модулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение20.11.2017, 02:58 
Аватара пользователя


11/04/16
191
Москва
Metford в сообщении #1267156 писал(а):
Вот получилось, что скорость направлена по касательной к окружности, модуль её нашли. А что изменилось бы, будь угловая скорость непостоянной? Просто зависимость $\varphi(t)$ не была бы $\omega t$ - и вместо множителя $\omega$ появилась бы производная $\frac{d\varphi}{dt}$. Всё равно скорость была направлена по касательной.

И всё всего лишь из-за полярной системы координат и касательного вектора... Круто. Но, пока не до конца осознал....
А вообще, этот подход - это и есть дифференциальная геометрия? Вот эти два вектора?
Metford в сообщении #1267156 писал(а):
опробуете провести анализ для ускорения сами?

Завтра. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение20.11.2017, 03:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
tohaf в сообщении #1267159 писал(а):
А вообще, этот подход - это и есть дифференциальная геометрия? Вот эти два вектора?

Я бы сказал, что это самое-самое начало дифференциальной геометрии. Строго говоря, мы сейчас говорим о движении в плоскости. В общем случае нужно рассматривать кривые в пространстве - там добавится третий вектор. Т.е. в каждой точке кривой можно будет построить тройку ортонормированных векторов - сопутствующую систему координат, базис которой образован единичными векторами касательной $\vec{\tau}$, нормали $\vec{n}$ и бинормали $\vec{\nu}$. При движении вдоль кривой этот базис поворачивается в пространстве. Изменение базисных векторов описывают формулы Френе. На данный момент большего знать Вам не требуется. Будет желание - потом прочитаете сами.
tohaf в сообщении #1267159 писал(а):
И всё всего лишь из-за полярной системы координат и касательного вектора...

Не придавайте слишком большого значения системе координат. Вот, похоже, Вы оценили удобство этой системы координат - собственно потому-то она и выбрана, что в ней всё хорошо видно.

Ждём продолжения. Осталось уже немного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение20.11.2017, 14:44 
Аватара пользователя


11/04/16
191
Москва
Вопросы:
1.
Цитата:
А теперь так же для $\vec{e_{\varphi}}$. А ещё, чтобы два раза не вставать, вычислите производную по времени от вектора $\vec{e_r}$, предполагая, что $\varphi=\omega t$, где $\omega$ - постоянная величина (угловая скорость в перспективе).

Я пока по-прежнему не понимаю, зачем здесь нужны полярные координаты. Проекция получилась точно такая же, как и в декартовых координатах - то есть, пришлось использовать единичные ортономированные ортогональные векторы $\vec{e_x}$ и $\vec{e_y}$ базиса.
$$\vec{e_r}=(\cos\varphi)\cdot\vec{e_x}+(\sin\varphi)\cdot\vec{e_y}$$
То есть пока я не вижу какого-то смысла в полярных координатах, кроме вашего рисунка (который от меня требовали).

Кажется догадываюсь... Потому что именно в полярных координатах достаточно удобно задать новые векторы $\vec{e_r}$ и $\vec{e_\varphi}$? Всего то угол нужен...
Но всё равно не очень...

2. Интересно получается, дифференциировать $\cos(\varphi)$, если, например, $\varphi(t)=t $ - мы не можем. Или можем, но это очень сложно, верно?
3. $$\frac{d\vec{e_r}} {dt}=  \omega \vec{e_\varphi} $$
Получается, что для того, чтобы обойти трудность в вопросе 2, мы предполагаем, что угловая скорость постоянна, с каменным лицом дифференциируем и видим, что производная $\vec{e_r}$ равна всего лишь произведению другого вектора и $\omega$ (причём, тут-то омега была равна константе), а значит, можно с каменным лицом заменить эту константу на $\omega(t)$ ?

А почему же я тогда не мог того же самого сделать в $\vec{v} = \frac{ d \hat{r} }{dt} = r(-w\sin(wt)\hat{x}+w\cos(wt)\hat{y} ) $ ?
Ну, мол, захотелось мне скорость найти - нашёл угол от времени (подставил время, если угловая скорость равна константе или проинтегрировал, если есть угловое ускорение) и подставил в эту формулу).
Но мы же так не можем, мы же саму эту производную находили исходя из того, что $\omega$ - это константа!

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение20.11.2017, 15:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
tohaf в сообщении #1267255 писал(а):
Я пока по-прежнему не понимаю, зачем здесь нужны полярные координаты.

Как и любая система координат, для удобства работы. Скажите, Вам удобно, например, считать объём шара в прямоугольных координатах? Не лучше в сферических будет всё-таки? А если точка движется по кривой, то удобнее работать в декартовых прямоугольных или криволинейных координатах?
Смотрите: есть такое понятие, как радиус кривизны траектории - это Вы знаете. Грубо можно сказать так, что кривую можно рассматривать как набор малых дуг окружностей разных радиусов. Понятно, что тут уточнения нужны насчёт гладкости кривой и т.д. - вот за этим как раз в дифференциальную геометрию. Нас это сейчас не волнует: здесь у нас все кривые - дамы, приятные во всех отношениях. Так вот, если на каждом малом промежутке времени можно считать, что точка движется по дуге окружности, то разумно начать именно с рассмотрения движения точки просто по окружности. При движении по окружности радиус-вектор точки просто вращается - необязательно с постоянной угловой скоростью, но вращается. Окружность - это координатная линия полярной системы координат, поэтому с такими координатами и удобно работать.
tohaf в сообщении #1267255 писал(а):
2. Интересно получается, дифференциировать $\cos(\varphi)$, если, например, $\varphi(t)=t $ - мы не можем. Или можем, но это очень сложно, верно?

Вы пытаетесь перехитрить себя. Как бы не удалось... Вам же вчера Lia ответила на этот вопрос.
Со своей стороны замечу, что с физической точки зрения писать время под знаком косинуса - это плохо. Косинус размерной величины, однако!
tohaf в сообщении #1267255 писал(а):
Получается, что для того, чтобы обойти трудность в вопросе 2, мы предполагаем, что угловая скорость постоянна, с каменным лицом дифференциируем и видим, что производная $\vec{e_r}$ равна всего лишь произведению другого вектора и $\omega$ (причём, тут-то омега была равна константе), а значит, можно с каменным лицом заменить эту константу на $\omega(t)$ ?

$$\frac{d}{dt}(\cos\varphi\cdot\vec{e_x}+\sin\varphi\cdot\vec{e_y})=(-\sin\varphi\cdot\vec{e_x}+\cos\varphi\cdot\vec{e_y})\cdot \frac{d\varphi}{dt}$$
Это называется дифференцирование сложной функции. Если $\varphi(t)=\omega t$ - вращение с постоянной угловой скоростью - то $\frac{d\varphi}{dt}=\omega$ - то, что Вы получили "с каменным лицом".

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение20.11.2017, 15:23 
Заслуженный участник


01/06/15
1149
С.-Петербург
tohaf в сообщении #1267255 писал(а):
Я пока по-прежнему не понимаю, зачем здесь нужны полярные координаты.
Чтобы стало очевидным: скорость всегда направлена по касательной (пропорциональна $\vec{e_{\varphi}}$), даже если $\omega$ зависит от времени.
tohaf в сообщении #1267255 писал(а):
Интересно получается, дифференциировать $\cos(\varphi)$, если, например, $\varphi(t)=t $ - мы не можем. Или можем, но это очень сложно, верно?
Можем. И это просто. И именно это нужно было честно проделать, вычисляя скорость для случая зависящей от времени $\omega$.
tohaf в сообщении #1267255 писал(а):
Получается, что для того, чтобы обойти трудность в вопросе 2, мы предполагаем, что угловая скорость постоянна, с каменным лицом дифференциируем и видим, что производная $\vec{e_r}$ равна всего лишь произведению другого вектора и $\omega$ (причём, тут-то омега была равна константе), а значит, можно с каменным лицом заменить эту константу на $\omega(t)$ ?
Ничего подобного. п.2 не представляет трудностей. Проводим прямые вычисления и видим... см. мой коммент выше: "скорость всегда направлена по касательной (пропорциональна $\vec{e_{\varphi}}$), даже если $\omega$ зависит от времени". А вот "с каменным лицом заменить эту константу на $\omega(t)$" нельзя -- нужно ещё на производную $\frac{d}{dt}\omega(t)$ домножить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение20.11.2017, 18:30 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Раз тут начался дифгем, почему бы не попробовать написать всё вообще бескоординатно? Пусть у нас есть некоторая плоскость (как линейное пространство), и пусть оператор поворота в этой плоскости на угол $\varphi$ обозначается $R(\varphi)$. Пусть у нас есть какой-то единичный вектор $\mathbf u$, задающий направление полярной оси. Тогда радиус-вектор точки, движущейся по окружности радиуса $a$ с зависимостью угла от времени $\varphi(t)$ — это $a\,R(\varphi(t))\mathbf u$. Для дальнейших манипуляций нам нужно знать о $R$ из более-менее неочевидного только $\frac d{dt}(R(t)) = R(\pi/2)R(t)$. Получим скорость точки: $$\mathbf v(t) = \frac d{dt}\mathbf r(t) = \frac d{dt}(a\,R(\varphi(t))\mathbf u) = a\frac d{dt}R(\varphi(t))\mathbf u,$$так как $\frac d{dt}a = 0$ и $\frac d{dt}\mathbf u = \mathbf0$. Далее, $\frac d{dt}R(\varphi(t)) = \frac d{dt}\varphi(t)R(\pi/2)R(\varphi(t))$, так что $$\mathbf v(t) = \omega(t)R(\pi/2)(a\,R(\varphi(t))\mathbf u) = \omega(t)R(\pi/2)\mathbf r(t).$$И так далее. Например, зная, что $(R(\pi/2)\mathbf v,\mathbf v) = 0$ для любого вектора $\mathbf v$, можно сразу установить, что скорость ортогональна радиус-вектору. Зная, что $\lVert R(\ldots)\mathbf v\rVert = \lVert\mathbf v\rVert$ и что путь на промежутке $T$ по определению равен $\int_T \lVert\mathbf v(t)\rVert\,dt$, можно найти и его: $a\int_T \lvert\omega(t)\rvert\,dt$. Совершенно без привязки к каким угодно координатам.

Всё просто и прозрачно, по-моему. 8-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение20.11.2017, 19:40 
Аватара пользователя


11/04/16
191
Москва
Metford в сообщении #1267266 писал(а):
Вы пытаетесь перехитрить себя.


Можно на минуту вернуться к тому стилю, что я видел у Киттеля стр.50? Я просто это пишу для того, чтобы было видно что я понимаю и как.

(Оффтоп)

Пусть, для простоты, мы рассматриваем единичный радиус вектор, то есть модуль его равен 1.
Просто для того, чтобы использовать только $\hat{r}$.
$\hat{x} , \hat{y}$ - единичные, базисные, ортонормированные, ортогональные векторы.
$$\vec{r}(t)=r(t)\hat{r}(t)=\hat{r}(t)=\hat{x}\cos{\varphi}+\hat{y}\sin{\varphi}$$
Изображение
Если $\omega = \operatorname{const}$ и взять производную, то получится:
$$\vec{v}=-\omega \sin{\omega t} \hat{x} + \omega \cos{\omega t} \hat{y}$$
Уже видно, что вектор этот, если подставить время - будет направлен по касательной.
Например, если угловая скорость $\frac{\pi}{2}$.
$$\vec{v}(t)=-\omega \sin{\omega t} \hat{x}+ \omega \cos{\omega t} \hat{y}$$

$$\vec{v}(0)=-\omega \sin{\omega 0} \hat{x}+ \omega \cos{\omega 0} \hat{y}= +\frac{\pi}{2} \hat{y}  $$

$$\vec{v}(1)=-\omega \sin{\omega 1} \hat{x}+ \omega \cos{\omega 1} \hat{y}= - \frac{\pi}{2} \hat{x}$$

Далее, производная сложной функции:
$$\cos{\omega t} = - \omega \sin(\omega t) $$
Пусть $\omega (t) = t $.
$$\omega = \frac{d \varphi}{dt}$$
$$\varphi = \int\limits_{}^{}\omega dt = \frac{t^2}{2}$$

$$\hat{r}(t)=\hat{x}\cos{\varphi}+\hat{y}\sin{\varphi}$$

$$\hat{r}(t)=\hat{x}\cos{\varphi}+\hat{y}\sin{\varphi} = \hat{x}\cos{\frac{t^2}{2}}+\hat{y}\sin{\frac{t^2}{2}}$$
Это ведь правильно? Если у меня такая зависимость угла от времени, то и радиус вектор будет так же зависеть от времени...
Дальше производная.
$$\vec{v}(t) = \hat{x} \frac{d}{dt}[ \cos{\frac{t^2}{2}} ]+\hat{y} \frac{d}{dt}[ \sin{\frac{t^2}{2}} ] = -  (\frac{t^2}{2})' \sin{\frac{t^2}{2}} \hat{x}+   (\frac{t^2}{2})' \cos{\frac{t^2}{2}} \hat{y} = - t \sin{\frac{t^2}{2}} \hat{x} + t \cos{\frac{t^2}{2}} \hat{y} $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение20.11.2017, 19:53 
Заслуженный участник


01/06/15
1149
С.-Петербург
tohaf в сообщении #1267335 писал(а):
Это ведь правильно?

Да как бы не очень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение21.11.2017, 00:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
arseniiv в сообщении #1267322 писал(а):
почему бы не попробовать написать всё вообще бескоординатно?

arseniiv, Вы хотите всё похоронить? :D
tohaf в сообщении #1267335 писал(а):
Пусть $\omega (t) = t $.

А вот это зачем? И если уж так делать, то с умом: $\omega=\alpha t$. Размерности-то согласовывать нужно, нет?
Всё равно непонятно, зачем Вы так пишете...

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение21.11.2017, 01:00 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Metford в сообщении #1267408 писал(а):
Вы хотите всё похоронить? :D
Честно, не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение21.11.2017, 04:16 
Заслуженный участник


01/06/15
1149
С.-Петербург
tohaf в сообщении #1267335 писал(а):
Это ведь правильно?
Прошу прощения, что не пояснил сразу, почему нет. Буду немножко занудным.

(Оффтоп)

tohaf в сообщении #1267335 писал(а):
Пусть, для простоты, мы рассматриваем единичный радиус вектор, то есть модуль его равен 1.
Просто для того, чтобы использовать только $\hat{r}$.
$\hat{x} , \hat{y}$ - единичные, базисные, ортонормированные, ортогональные векторы.
Слово "ортонормированные" тут лишнее.
tohaf в сообщении #1267335 писал(а):
$$\vec{r}(t)=r(t)\hat{r}(t)=\hat{r}(t)=\hat{x}\cos{\varphi}+\hat{y}\sin{\varphi}$$
C размерностями и с обозначениями путаница. Какая величина, $r(t)$ или $\hat{r}(t)$ имеет размерность длины? Из последнего равенства получается, что $\hat{r}(t)$. Но согласитесь, странно обозначать безразмерную величину той же буквой $r$ (хотя подозреваю, Вы не задумывались о том, что $r$ и $\hat{r}$ не могут обе иметь размерность длины).
tohaf в сообщении #1267335 писал(а):
Если $\omega = \operatorname{const}$ и взять производную, то получится:
$$\vec{v}=-\omega \sin{\omega t} \hat{x} + \omega \cos{\omega t} \hat{y}$$
Уже видно, что вектор этот, если подставить время - будет направлен по касательной.
Куда нужно подставлять время? Оно уже явно входит в формулу. Кроме того, совсем не очевидно, что вектор этот направлен по касательной (к чему и в какой точке? - это тоже не видно из формулы для вектора скорости).В полярных же координатах это и вправду очевидно - он направлен вдоль $\vec{e}_{\varphi}$. Совсем малый штрих: вектора $ \hat{x}$ и $\hat{y}$ не входят в аргументы тригонометрических функций. Чтобы это показать, при записи следует использовать скобки, но традиционно множители записывают перед символом функции и обходятся без скобок.
tohaf в сообщении #1267335 писал(а):
Например, если угловая скорость $\frac{\pi}{2}$.
$$\vec{v}(t)=-\omega \sin{\omega t} \hat{x}+ \omega \cos{\omega t} \hat{y}$$
$$\vec{v}(0)=-\omega \sin{\omega 0} \hat{x}+ \omega \cos{\omega 0} \hat{y}= +\frac{\pi}{2} \hat{y}  $$
$$\vec{v}(1)=-\omega \sin{\omega 1} \hat{x}+ \omega \cos{\omega 1} \hat{y}= - \frac{\pi}{2} \hat{x}$$
А вот это действительно очевидно (вектор $\vec{v}$ вращается и, повернувшись на $\frac{\pi}{2}$, будет направлен вдоль ортогональной оси) и как бы ни о чём.

tohaf в сообщении #1267335 писал(а):
Далее, производная сложной функции:
$$\cos{\omega t} = - \omega \sin(\omega t) $$
Оператор производной забыли. Кроме того производная сложной функции:
$$ \frac{d}{dt}f(g(t)) = f'(g(t))\,g'(t),$$

А далее какие-то гадания на частных случаях. Это уж не говоря о забытых размерных коэффициентах. С размерностями у Вас везде беда, начиная от постановки задачи: коэффициенты $A$ и $B$ не могут быть безразмерными числами. И про угловую скорость не раз уже отмечали - она не может равняться времени. Это физика, а не чистая математика.
tohaf в сообщении #1267335 писал(а):
Пусть $\omega (t) = t $.
$$\omega = \frac{d \varphi}{dt}$$
$$\varphi = \int\limits_{}^{}\omega dt = \frac{t^2}{2}$$
Забыли постоянную интегрирования - начальную фазу.
tohaf в сообщении #1267335 писал(а):
$$\hat{r}(t)=\hat{x}\cos{\varphi}+\hat{y}\sin{\varphi}$$

$$\hat{r}(t)=\hat{x}\cos{\varphi}+\hat{y}\sin{\varphi} = \hat{x}\cos{\frac{t^2}{2}}+\hat{y}\sin{\frac{t^2}{2}}$$
Это ведь правильно? Если у меня такая зависимость угла от времени, то и радиус вектор будет так же зависеть от времени...
Дальше производная.
$$\vec{v}(t) = \hat{x} \frac{d}{dt}[ \cos{\frac{t^2}{2}} ]+\hat{y} \frac{d}{dt}[ \sin{\frac{t^2}{2}} ] = -  (\frac{t^2}{2})' \sin{\frac{t^2}{2}} \hat{x}+   (\frac{t^2}{2})' \cos{\frac{t^2}{2}} \hat{y} = - t \sin{\frac{t^2}{2}} \hat{x} + t \cos{\frac{t^2}{2}} \hat{y} $$

Если идти в обратную сторону, то логичнее. Единичный вектор
$$\vec{r}(t)=\hat{x}\cos{\varphi (t)}+\hat{y}\sin{\varphi (t)}$$
$$\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} = \frac{d \varphi}{dt}(-\hat{x}\sin{\varphi (t)}+\hat{y}\cos{\varphi (t)}) = \omega (-\hat{x}\sin{\varphi (t)}+\hat{y}\cos{\varphi (t)})$$и подставляем явную зависимость $\varphi (t)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение22.11.2017, 15:45 


22/11/13
142
tohaf в сообщении #1267335 писал(а):
Далее, производная сложной функции:
$\cos{\omega t} = - \omega \sin(\omega t) $

Производная у вас взята правильно, даже если угловая скорость зависит от времени.
$\cos[\omega(t) t] = - \omega(t) \sin[\omega(t) t] $
А насчёт интегралов, вы не учли моё замечание.

Если же вы используете неопределённые интегралы, то надо вводить постоянную интегрирования.
Она определяется из начальных условий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по окружности
Сообщение22.11.2017, 16:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
ludwig51 в сообщении #1267982 писал(а):
Производная у вас взята правильно, даже если угловая скорость зависит от времени.
$\cos[\omega(t) t] = - \omega(t) \sin[\omega(t) t] $
???
Если имеется в виду производная, то $$\frac d{dt}\cos(\omega(t)t)=-\sin(\omega(t)t)\cdot\left(t\frac d{dt}\omega(t)+\omega(t)\right),$$ причём, $\omega(t)$ здесь вовсе не является угловой скоростью. Угловая скорость в данном случае — это $t\frac d{dt}\omega(t)+\omega(t)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 85 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group