Линейное неоднородное 2 степени.

[Ananashero]

Сегодня преподаватель на зачет предложил решить ЛНУ 2 степени, но оно какое-то странное.

$a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n+n$

Не могу найти частное решение.

Попробовал свести к ЛОУ 3 степени

$t^3-4t^2+5t-2=0$ , или $(t-2)(t-1)^2$ , т.е. t=1 корень кратности 2. Как тогда написать формулу для $a_{n}$?

[fred1996]

Посмотрите внимательнее.
Это разностное уравнение эквивалентно линейному дифуру 2-ого порядка:
$y''-y'=x$

[Someone]

Что такое "ЛНУ", "ЛОУ"? Не встречал таких аббревиатур. Хотя такие уравнения знаю под именем "возвратные уравнения", и решаются они довольно просто.

Ananashero в сообщении #1259753 писал(а):

Попробовал свести к ЛОУ 3 степени

Зачем, собственно говоря? Общее решение однородного уравнения сразу пишется по корням характеристического уравнения. Вид частного решения в специальных случаях, к которым относится и ваше уравнение, определяется видом неоднородного члена и корнями характеристического уравнения, и записывается с неопределёнными коэффициентами, которые определяются подстановкой в уравнение. Практически так же, как для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

А Вам какой метод рекомендовали?

[Ananashero]

fred1996 в сообщении #1259784 писал(а):

Посмотрите внимательнее.
Это разностное уравнение эквивалентно линейному дифуру 2-ого порядка:
$y''-y'=x$

А мы дифуры не проходили. Это из цикла дискретной математики. Решали такие последовательности через корни характеристического уравнения. Вопрос в том, что я не смог найти частное решение, не получается у меня выразить частное решение, чтобы n-ка из правой части ушла. Если бы там был ${n^2}$ то было бы проще.

[Lia]

В каком виде искали, напишите.

[Ananashero]

Someone в сообщении #1259795 писал(а):

Зачем, собственно говоря? Общее решение однородного уравнения сразу пишется по корням характеристического уравнения. Вид частного решения в специальных случаях, к которым относится и ваше уравнение, определяется видом неоднородного члена и корнями характеристического уравнения, и записывается с неопределёнными коэффициентами, которые определяются подстановкой в уравнение. Практически так же, как для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

А Вам какой метод рекомендовали?

Да, способ именно такой, но у меня не получается найти это частное решение.
Общее будет такое $a_n=C_1\cdot 1^n+C_2\cdot 2^n$, если подставлять начальные условия, то получится $a_n=4\cdot2^n-3$

Вопрос в том - как найти частное решение! если мы его ищем как $a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n+n$. Что надо подставить вместо $a_{n+2}$? У меня n-ка не сокращается :(

[Lia]

Это понятно. И частное решение в специальном случае (к которому относится и Ваш, как уже тут было упомянуто) - это именно $f(n)$ (которое Вы уже стерли), а не то, что Вы пишете. И как это $f(n)$ искать, нужно знать, потому что иначе не найдете. И Вам рассказывали. Поройтесь в своих конспектах/методичках и найдете. На текущий момент фраза

Someone в сообщении #1259795 писал(а):

и записывается с неопределёнными коэффициентами, которые определяются подстановкой в уравнение. Практически так же, как для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

осталась Вами, таким образом, не понятой.

[Ananashero]

Lia в сообщении #1260450 писал(а):

Это понятно. И частное решение в специальном случае (к которому относится и Ваш, как уже тут было упомянуто) - это именно $f(n)$ (которое Вы уже стерли), а не то, что Вы пишете. И как это $f(n)$ искать, нужно знать, потому что иначе не найдете. И Вам рассказывали. Поройтесь в своих конспектах/методичках и найдете. На текущий момент фраза

Someone в сообщении #1259795 писал(а):

и записывается с неопределёнными коэффициентами, которые определяются подстановкой в уравнение. Практически так же, как для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

осталась Вами, таким образом, не понятой.

В том-то и проблема, что в этом уравнении я не могу его найти. Вопрос в том как его искать. Вы говорите, что мне это рассказывали, но, к сожалению, вы ошибаетесь, т.к. этот зачет у меня вылез из-за академической разницы и я сейчас пытаюсь самостоятельно в этом разобраться. Буду очень благодарен, если порекомендуете литературу как искать это частное решение. Спасибо.

Я ищу так. Пусть $a_n=n$, тогда
$a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_{n}+n.$
$n+2=3(n+1)-2n+n$ , упс $n=1$. не подходит.

Пусть $a_n=const$, тогда
$C =3C-2C+n$, $n=0$. - не подходит.

Пусть $a_n=kn+b$, но тоже не подходит.

[Lia]

Пожалуйста.
Хотя обычно в таких случаях говорится что-то о гугле...

====
И не цитируйте ненужное. Для выборочного цитирования, если оно уж так необходимо, есть кнопка "Вставка". Выделяете нужное и жмете там же.

[Ananashero]

Lia в сообщении #1260457 писал(а):

Пожалуйста.

Хотя обычно в таких случаях говорится что-то о гугле...

Спасибо, это я читал.

Мы имеем линейное неоднородное уравнение второй степени.
$a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=n, f(n)=n$

ответа на вопрос как искать решение такого уравнения я в вашей презентации не нашел. Там ищут для $f(n)=t^n$, где t может быть как корнем х.у., так и не быть его корнем.

[Lia]

Ananashero в сообщении #1260462 писал(а):

ответа на вопрос как искать решение такого уравнения я в вашей презентации не нашел.

Напрасно, он там есть.

Ananashero в сообщении #1260462 писал(а):

Там ищут для $f(n)=t^n$,

И разве всё? Ничего больше?
(Ну не указывать же страницу, в самом деле. Поищите, не так там и много.)

[Ananashero]

Lia в сообщении #1260467 писал(а):

(Ну не указывать же страницу, в самом деле. Поищите, не так там и много.)

Вы знаете, задачу мне зачли, хотя я честно нашел общее решение и написал, что не могу найти частное.
Сейчас я хочу разобраться для себя.
Но я потрачу еще полчаса, чтобы разобраться в вашей презентации, чтобы вы чувствовали себя спокойно, что так просто мне не подсказали. Спасибо.

[svv]

Из этих 30 минут от силы 5 минут уйдёт на поиск того, что нужно, 15 минут на «врубание» и выписывание частного решения, и 10 минут на проверку подстановкой. Последние 25 минут работы никак не обусловлены нашей вредностью.

[Someone]

Ananashero в сообщении #1260462 писал(а):

ответа на вопрос как искать решение такого уравнения я в вашей презентации не нашел.

Странно. Там есть раздел, посвящённый специально неоднородным уравнениям, прямо сформулирована теорема о виде частного решения, и есть пример. Правда, на мой взгляд, слишком простой. Но правила построения частного точно такие же, как для неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Если Вам случалось решать дифференциальные уравнения такого вида, то сказанного достаточно, чтобы воспроизвести правило для рекуррентных уравнений.

[Ananashero]

Someone в сообщении #1260526 писал(а):

Если Вам случалось решать дифференциальные уравнения такого вида, то сказанного достаточно, чтобы воспроизвести правило для рекуррентных уравнений.

Простите, не случалось. Может вы подскажите в каком виде его искать?