Линейное неоднородное сингулярное дифференциальное уравнение

[SurovM]

Я рассматриваю уравнение вида

$$a(t)\dot{x} + b(t)x + c(t) = 0$$

с вещественными коэффициентами на некотором открытом интервале $I\subset \mathbb{R}$; $a,b,c \in C(I)$. Существует единственное число $t_s \in I$ зануляющее $a$: $a(t_s) = 0$. При этом $b(t_s) \ne 0, c(t_s) \ne 0$.

Вопрос: какими свойствами должны обладать коэффициенты этого дифференциального уравнения, чтобы частное решение $x(t)$, удовлетворяющее начальным условиям $x(t_0) = 0$ для некоторого $t_0 \in I \backslash \{t_s\}$, являлось гладкой функцией на всём $I$.

Если кто-то имеет опыт решения таких задач, хотелось бы получить ссылки на соответствующие статьи или книги, в которых сформулированы теоремы существования решений.

[pogulyat_vyshel]

помилуйте, какие же статьи про интегрируемое скалярное уравнение? формулы выписывайте и вглядывайтесь

[SurovM]

pogulyat_vyshel

(Оффтоп)

интегрируемое сингулярное скалярное уравнение. Кроме того вопрос не в том как решать, вопрос в существовании гладкого решения.

[pogulyat_vyshel]

ну понятно, то есть выписать решение в явном виде, и изучать получившиеся интегралы, это ниже вашего достоинства. Захотелось теорем существования, статей в журналах и большой науки. А наука тут вся в пределах второго курса Печалька

[Red_Herring]

Безусловно, очень важно, чтобы $a'(t_s) \ne 0$, и отношение $b(t_s)/a'(t_s)$. Чтобы глубже понять, рассмотрите $t x' + b x =0$, с произвольными начальными условиями.

pogulyat_vyshel в сообщении #1258577 писал(а):

ну понятно, то есть выписать решение в явном виде, и изучать получившиеся интегралы,

Большой науки тут действительно нет (и ТС следовало бы поместить в ПРР), но "совет" из серии бесполезных

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1258636 писал(а):

но "совет" из серии бесполезных

ну если этот совет вас ни на какие соображения не наводит, то это ваша проблема

-- 24.10.2017, 19:10 --

Red_Herring в сообщении #1258636 писал(а):

но, чтобы $a'(t_s) \ne 0$, и о

между прочим в условии не сказано, что коэффициенты дифференцируемые функции

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1258640 писал(а):

ну если этот совет вас ни на какие соображения не наводит

Наводит, на очень простое соображение, что вы любите болтать о вещах, в которых не разбираетесь

[pogulyat_vyshel]

а я вот думаю что это вы не разбираетесь

[SurovM]

Нашёл-таки статью On singular BVPs with nonsmooth data: Analysis of the linear case with variable coefficient matrix, в которой подробно разбирается подобная задача.

Red_Herring, наука-не наука, а теоремы существования и единственности там сформулированы для различных случаев.

[Red_Herring]

SurovM в сообщении #1258644 писал(а):

n singular BVPs with nonsmooth data: Analysis of the linear case with variable coefficient matrix

Если судить по заголовку то там система, а вы писали об одном уравнении.

Правильно оформляйте ссылки

[pogulyat_vyshel]

Вот, например, тривиальное соображение основанное на явных формулах. Предположим, что $t\in I=[0,a]$ и единственный ноль функции $a$ лежит на интервале $(0,a)$, выше этот ноль был обозначен за $t_s$. мы решаем задачу $a\dot x=-bx-c,\quad x(0)=0$.
Во всяком случае при $t\in[0,t_s)$ мы можем написать

$$x(t)=-\int_0^te^{-\int_\xi^t\frac{b(s)}{a(s)}ds}c(\xi)/a(\xi)d\xi$$

на самом деле это интегральное выражение определяет непрерывную функцию $x(t)$ на всем отрезке $I$, если только $1/a\in L^1(I)$. (это что-то типа условий Каратеодори получилось, а что еще могло получиться? :))Эту функцию естественно назвать обобщенным решением задачи
Условия того что это обобщенное решение является дифференцируемым написать не проблема, просто это громоздкие условия

[SurovM]

Red_Herring, да, у них более общие утверждения для линейных систем любой размерности. Там разбираются случаи когда вещественная часть всех собственных чисел матрицы больше нуля, меньше нуля. Для скалярного уравнения соответственно будут 2 случая: $b(t_s) > 0$ и $b(t_s) < 0$. Для каждого из них своя теорема существования. Ну и гладкость решений тоже доказывается.

[pogulyat_vyshel]

SurovM в сообщении #1258665 писал(а):

да, у них более общие утверждения для линейных систем любой размерности.

ну да, которые в случае скалярного уравнения наверняка являются тривиальными

-- 24.10.2017, 21:13 --

SurovM в сообщении #1258665 писал(а):

т 2 случая: $b(t_s) > 0$ и $b(t_s) < 0$. Дл

ни $b$ а $b/a$

[Lia]

SurovM в сообщении #1258644 писал(а):

On singular BVPs with nonsmooth data: Analysis of the linear case with variable coefficient matrix

SurovM
Оформляйте ссылки. Текущая не оформлена ни по правилам "электронных", ни по правилам "бумажных".

[pogulyat_vyshel]

а вот если предположить, что $a\ge 0, \quad 1/a\in L^1(I)$ и сделать замену времени $\tau=\int_0^t\frac{ds}{a(s)}$ то решение вообще окажется гладкой функцией $\tau$