Возможность построения векторного пространства

[Returning0fficer]

Slav-27
1) $s(\vec a,\vec b) = s(\vec b,\vec a), \vec a \oplus \vec b = \vec b \oplus \vec a$
2) $s(\vec a, s(\vec b,\vec c)) = s(s(\vec a,\vec b),\vec c), \vec a \oplus \vec b \oplus \vec c = (\vec a \oplus \vec b) \oplus \vec c = \vec a \oplus (\vec b \oplus \vec c)$
3) $\exists\vec 0$, такой, что для $\forall\vec a\in V$ верно, что $\vec a\oplus\vec 0 = \vec a$
4) Для $\forall\vec a\in V$ верно, что $\exists\vec a^{-1}$ (единственный), такой, что $\vec a\oplus \vec a^{-1} = \vec 0$
5) Для $\forall\vec a\in V $ и любых скаляров верно, что $\lambda_{1} \cdot \lambda_2\odot\vec a = (\lambda_{1}\cdot \lambda_2)\odot\vec a = \lambda_1\odot (\lambda_2\odot\vec a)$
6) $1\odot\vec a = \vec a$, где $1$ -- нейтральный по умножению элемент поля
7) $(\lambda_1 + \lambda_2)\odot\vec a = \lambda_1\odot\vec a\oplus\lambda_2\odot\vec a$
8) $\lambda\odot(\vec a\oplus\vec b)= \lambda\odot\vec a\oplus \lambda\odot\vec b$

[vpb]

И вдобавок, для конкретности, выпишите явно три различных структуры группы на множестве $\{a,b,c,d\}$. (На самом деле их больше. Попробуйте посчитать, сколько, не выписывая явно. Про это, собственно, и была первая из предложенных мной задач).
Slav-27, как вставлять ник, я так и не понял, не получилось. Извините, что в тему влез, но я думаю, что от этого дурного не произошло.

[Slav-27]

Returning0fficer
Почти хорошо. Пара замечаний:
1) Мы договаривались, что $s:\mathbb R^2\to \mathbb R$, то есть её аргументы -- числа, а не векторы.
2) $\vec a^{-1}$ писать не принято, давайте писать $-\vec a$.

Я сейчас перепишу то, что вы написали, отделив аксиомы векторного пространства от их следствий для нашего конкретного пространства.

Итак, пусть $V$ -- векторное пространство над каким-то полем $\mathbb F$. Обозначим операцию сложения векторов $\oplus$, а операцию умножения на скаляр $\odot$. Тогда:

1. Для любых векторов $\vec a$ и $\vec b$ верно $\vec a \oplus \vec b = \vec b \oplus \vec a$.
2. Для любых векторов $\vec a, \vec b$ и $\vec c$ верно $ (\vec a \oplus \vec b) \oplus \vec c = \vec a \oplus (\vec b \oplus \vec c)$.
3. Существует вектор $\vec 0$, такой что для любого вектора $\vec a$ верно $\vec a\oplus\vec 0 = \vec a$.
4. Для любого вектора $\vec a$ найдётся вектор $-\vec a$, такой что $\vec a\oplus (-\vec a) = \vec 0$.
5. Для любого вектора $\vec a$ и любых скаляров $\lambda, \mu$ верно $(\lambda \mu)\odot\vec a = \lambda\odot (\mu\odot\vec a)$.
6. Для любого вектора $\vec a$ верно $1\odot\vec a = \vec a$.
7. Для любого вектора $\vec a$ и любых скаляров $\lambda, \mu$ верно $(\lambda + \mu)\odot\vec a = (\lambda\odot\vec a)\oplus(\mu\odot\vec a)$.
8. Для любых векторов $\vec a$ и $\vec b$ и любого скаляра $\lambda$ верно $\lambda\odot(\vec a\oplus\vec b)= (\lambda\odot\vec a)\oplus (\lambda\odot\vec b)$.

Теперь выпишем, что это значит для нашего конкретного пространства $V$ над полем $\mathbb R$. Нулевой вектор у него соответствует (при заданной в условии биекции между $V$ и $\mathbb R$) числу $0$, поэтому обозначение $\vec 0$ согласовано с обозначением нулевого вектора в списке аксиом выше. Кроме того, для любого векторного пространства верно $-\vec a=(-1)\odot\vec a$ (докажите). Применительно к нашему пространству это значит, что $-\vec a=(-1)\odot \vec a=\overrightarrow{(-1)^3a}=\overrightarrow{-a}$.

Итак, пишем.

1. $s(a,b)=s(b,a)$.
2. $s( a, s( b, c)) = s(s( a, b), c)$.
3. $s(a,0)=s(a)$.
4. $s(a, -a)=0$.

Дальше вы не дописали, дописывайте.

[vpb]

(Оффтоп)

А вообще, такая мысль. Когда-то в школе бурбакизм внедряли, без нужды и толку, а сейчас, кажется, кто-то его в курс линейной алгебры добавил, без большой нужды и пользы. На самом деле, различать понятия "группа" и "структура группы" мало кому надо даже среди профессиональных математиков. И уж курсе на 1-2 это точно мало уместно. Но что задали, то уж и решаем... Типа "предложение формирует спрос".

[vpb]

(Оффтоп)

Я в своем последнем посте утверждал, что понятие структуры в курсе линейной алгебры --- излишество. Пожалуй, это не совсем так, я проявил некоторую запальчивость. Оно может быть полезно, когда рассказывают, скажем, об овеществлении и комплексификации (и в том же месте можно упоминать, кстати, о категориях, функторах, и естественных преобразованиях). Но все же это вещь, мало кому нужная. Так сказать, параграф со звездочкой для особо одаренных, да и им он скорее всего преждевременен. Так что все же ваш лектор, думаю, перегнул палку в сторону общности и абстрактности.

[Returning0fficer]

vpb
Структура группы - специальным образом определенная ассоциативная операция на множестве, с нейтральным элементом и единственным обратным для всякого элемента множества. То есть, структура группы - по сути, правила (читайте аксиомы), которым должны отвечать элементы множества-носителя этой структуры.

Про структуру группы на произвольном четырехэлементном множестве:
1) $4!$ — если обратные элементы не совпадают с самими элементами.
2) $4\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 1\cdot 1\cdot 1$ - когда обратный для каждого элемента — он сам.
Остальные сочетания не подходят, вроде как, ведь там получится более 4 элементов в группе.
Тогда число равно $48$.
Про четырехэлементное множество $M$ и поле $F$: так как носитель структуры векторного пространства — множество со структурой абелевой аддитивной группы, то построить её мы можем аналогичными 48-ю способами. На четырёхэлементном множестве построить поле можно $48^2$, тогда структура векторного пространства — сопряжение одной из вариаций структуры поля со структурой абелевой аддитивной группы — $48^3$.

[Returning0fficer]

vpb

(Оффтоп)

это вообще задача из первосеместрового курса геометрии

-- 24.10.2017, 11:13 --

Slav-27
Обозначим $g: \mathbb R\times V \rightarrow \mathbb R$ скалярное умножение, тогда:
5)$ s(g(\lambda_1\cdot\lambda_2),a)= g(\lambda_1,g(\lambda_2,a))$
6) $g(1,a)=g(a)=a$
7) $g((\lambda_1 + \lambda_2),a) =s(g(\lambda_1,a),g(\lambda_2,a))$
8) $g(\lambda,s(a,b))=s(g(\lambda,a),g(\lambda,b))$

У меня есть идея, переобозначить обратные в нашей абелевой аддитивной группе, служащей каркасом векторного пространства, то есть:
$s(a,a)=\vec 0$, $s(a,-a) = \vec {2a}$, но тогда не работает ассоциативность векторного сложения...

[Slav-27]

Returning0fficer
Похоже, я недостаточно ясно выразился. Я хотел от вас вот чего: чтобы вы каждую из аксиом записали в виде $\vec{...} =\vec{...}$, где многоточия обозначают числа. Делать это надо так: скалярное умножение заносится под стрелку так, как это указано условием задачи, а сумма -- с помощью функции $s$.

Таким образом (если убрать потом стрелки) получатся условия, которые должны выполняться, чтобы $V$ было векторным пространством. Эти условия уже не будут содержать векторов из $V$, а только вещественные числа и функцию $s$ от них.

Единственное, что потом останется для решения задачи -- придумать функцию $s$ так, чтобы все эти условия выполнялись.

А вы написали какую-то фигню.

-- 24.10.2017, 13:02 --

Распишу на всякий случай 5-ю аксиому, если вы всё равно ничего не поймёте, то я уж не знаю, что делать.

5. Для любых вещественных чисел $a$, $\lambda$ и $\mu$ верно $(\lambda \mu)^3 a=\lambda^3 (\mu^3 a)$.

[vpb]

а) Нет, неправильно. Приведите три примера структуры, как я просил выше.

б) И что, прямо в первосеместровом курсе геометрии так и говорилось про носитель структуры и т.д. ? Тогда, боюсь, несколько странное заведение, в котором Вы учитесь...

[vpb]

Уточню предыдущее сообщение. Что такое структура группы, Вы так или иначе сформулировали, хотя и не очень правильно. В решении задачи про количество структур группы есть рациональное зерно (по-видимому; как Вы рассуждали, я не знаю), но ответ ошибочен. Про количество структур векторного пространства --- ошибочно полностью.

[Returning0fficer]

vpb
Slav-27

(Оффтоп)

Извините за долгое молчание, из-за учёбы не мог зайти и ответить

vpb

(Оффтоп)

Посмотрел я вчера, что такое универсальная алгебра, почитал про алгебры и модели, в общем, конечно, таким языком нам никто ничего не объяснял, возможно, лишь вкратце обмолвились о том, что есть алгебраическая структура, а есть её носитель - всё

Про группу:
1) На множестве из четырех элементов группу можно задать 16-ю способами.
Фиксируем нейтральный элемент — 4 варианта, затем смотрим на их сочетания с вариациями оставшихся элементов:
1) Каждый обратен сам себе
2) Первый обратен сам себе, второй и третий взаимно обратны
3) Второй обратен сам себе, первый и третий взаимно обратны
4) Третий обратен сам себе, первый и второй взаимно обратны
Три явных примера:
1) $a$ -- нейтральный. $b$ -- элемент обратный сам себе, $c$ -- элемент обратный сам себе, $d$ -- элемент обратный сам себе.
2) $a$ -- нейтральный. $b$ -- элемент обратный сам себе, $c,d$ -- взаимно обратные элементы.
3) $b$ -- нейтральный. $a$ -- элемент обратный сам себе, $c,d$ -- взаимно обратные элементы.

Про векторное пространство:
Поле на четырех элементах - группа по сложению и группа по умножению без нуля (единицы по сложению). Группу строим 16-ю способами, затем, в каждом из 16-ти способов, выкидываем нейтральный элемент по сложению, из оставшихся трех выбираем нейтральный по умножению, оставшиеся два элемента либо взаимно обратны, либо каждый из них обратен сам себе. Тогда поле на этих элементах строится 96-ю способами.

Тогда, у нас есть группа $M$ из четырех элементов и 96 четырехэлементных полей. Откуда следует, что векторных пространств тоже 96.


Slav-27


5. Для $\forall \lambda_1,\lambda_2, a \in \mathbb R $ верно, что $(\lambda_1 \lambda_2)^3 a=\lambda_1^3 (\lambda_2^3 a)$
6. $\exists 1$ такая, что для $\forall a \in \mathbb R$ верно $1^3 a = 1a = a$
7. Для $\forall \lambda_1,\lambda_2, a \in \mathbb R $ верно, что $(\lambda_1+\lambda_2)^3 a = s(\lambda_1^3 a, \lambda_2^3 a) = s(\lambda_1^3 a,3\lambda_1^2\lambda_2 a, 3\lambda_1\lambda_2^2 a, \lambda_2^3 a)
8. Для $\forall \lambda,a,b \in \mathbb R $ верно, что $s(a,b)\lambda^3 = s(\lambda^3 a,\lambda^3 b)$

[Slav-27]

Returning0fficer в сообщении #1258833 писал(а):

6. $\exists 1$ такая, что для $\forall a \in \mathbb R$ верно $1^3 a = 1a = a$

Не "$\exists 1$", а совершенно конкретная $1$. Ну вы же сами писали:

Returning0fficer в сообщении #1258397 писал(а):

6) $1\odot\vec a = \vec a$, где $1$ -- нейтральный по умножению элемент поля

В данном случае это, конечно, эквивалентно, но всё же...

Returning0fficer в сообщении #1258833 писал(а):

7. Для $\forall \lambda_1,\lambda_2, a \in \mathbb R $ верно, что $(\lambda_1+\lambda_2)^3 a = s(\lambda_1^3 a, \lambda_2^3 a) = s(\lambda_1^3 a,3\lambda_1^2\lambda_2 a, 3\lambda_1\lambda_2^2 a, \lambda_2^3 a)$

1-е равенство правильно, а 2-е глупость. У $s$ 2 аргумента.

Returning0fficer в сообщении #1258833 писал(а):

8. Для $\forall \lambda,a,b \in \mathbb R $ верно, что $s(a,b)\lambda^3 = s(\lambda^3 a,\lambda^3 b)$

Это, слава богу, правильно.

Ну теперь придумывайте такую функцию.

[vpb]

ReturningOfficer,
благодаря усилиям Slav-27 Вы вот-вот дорешаете исходную задачу. Тем не менее, давайте разберем еще кое-что про конечные поля, а потом про так назывемый "перенос структуры" (Когда узнаете, что это такое, увидите, что исходная задача тривиальна. Даже, собственно, это никакая не задача. Но это некая философия, которую пока отложим).

Ответ про 16 структур группы --- правильный. Однако, для порядку, выпишите полную таблицу умножения, скажем, для примера номер 2.

Насчет полей из 4 элементов Вы ошиблись. Для каждого числа вида $p^m$ есть ровно одно, с точностью до изоморфизма, поле такого порядка, а для чисел, не являющихся степенью простого, конечных полей такого порядка нет. Это факт непростой, когда-нибудь узнаете, может быть. Сейчас же докажите, непосредственно, что поле порядка 4 единственно с точностью до изоморфизма.

Пока, пожалуй, хватит.

[Returning0fficer]

vpb
Извините, но разве вы сами не разводили понятия "поле с точностью до изоморфизма" и "число структур поля на множестве"?

(Оффтоп)

Таблицу умножения для этой групповой структуры мне лень рисовать в латехе, если честно... (поверьте на слово, я знаю как это делается )

Slav-27
Осталось самое сложное -- придумать эту самую функцию, что мне не очевидно...
Дабы избавиться от $s(3\lambda_1^2\lambda_2 a,3\lambda_2^2\lambda_1 a)$, я думал построить функцию $s$, как $s(a,a) = 0 s(a,-a)=2a s(a,b)=a+b$, где $+$ -- обычное сложение действительных чисел. Но тогда не работает ассоциативность векторного сложения: $s(s(a,a),-a)=-a=3a$ -- функция с двумя образами на одном аргументе.

Я так понимаю, самая большая сложность -- $(\lambda_1+\lambda_2)^3 a = s(\lambda_1^3 a, \lambda_2^3 a) = s(s(\lambda_1^3 a,3\lambda_1^2\lambda_2 a), s(3\lambda_1\lambda_2^2 a, \lambda_2^3 a))$.

Есть теорема о том, что линейные пространства над одним полем и с равномощными базисами -- изоморфные пространства (они изоморфны и как группы). Может, стоит построить вариацию пространства с простым скалярным умножением и уже оттуда строить изоморфизм в наше пространство? То есть, наша функция $s$ должна работать почти так, как и сложение в группе на $\mathbb R$ над $\mathbb R$, когда скалярное умножение определяется обычным образом. Допустим, что $f$ -- изоморфизм, тогда $f(\lambda_1 a+\lambda_2 b)= s((f\lambda_1 a),f(\lambda_2 b))$ и $\lambda f(a+b) = f(\lambda a +\lambda b) = s(f(\lambda a), f(\lambda b)) = s(\lambda^3 a, \lambda^3 b)$?

$f(\lambda_1 a + \lambda_2 a) = s(f(\lambda_1 a),f(\lambda_2 a)) = s(\lambda_1^3 a, \lambda_2^3 a) = s(s(\lambda_1^3 a,3\lambda_1^2\lambda_2 a), s(3\lambda_1\lambda_2^2 a, \lambda_2^3 a))$ -- значит, что нам важно "схлопнуть" в один образ, два последних элемента тождества.

[Slav-27]

Returning0fficer в сообщении #1259544 писал(а):

Осталось самое сложное -- придумать эту самую функцию

Там несложно.

Returning0fficer в сообщении #1259544 писал(а):

$(\lambda_1+\lambda_2)^3 a = s(\lambda_1^3 a, \lambda_2^3 a) = s(s(\lambda_1^3 a,3\lambda_1^2\lambda_2 a), s(3\lambda_1\lambda_2^2 a, \lambda_2^3 a))$

Святые пряники, ну откуда, откуда второе равенство-то вы взяли?