2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Решение двойного интеграла через полярные координаты.
Сообщение22.10.2017, 14:01 


24/10/16
32
$\int\int\limits_G y^2dxdy; G=\{2x \le x^2+y^2 \le 6x, y \le x \}$
Мои действия:
1. Ввожу полярные координаты: $x=rcos\varphi; y=rsin\varphi$
2. Ищу пределы интегрирования: $\varphi \in [0;\frac{\pi}{4}]$, для $r$: $r \in [1;\frac{3\sqrt{2}}{2}]$
3. Считаю повторный интеграл: $$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}d(\varphi)\int\limits_{1}^{3\frac{\sqrt{2}}{2}}\cos^2(\varphi) r^3dr$$
4. Ответ не сходится. Сдаётся мне, что пределы интегрирования выбраны неправильно. В чем может быть ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение двойного интеграла через полярные координаты.
Сообщение22.10.2017, 14:09 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
ubertinderkid в сообщении #1257913 писал(а):
пределы интегрирования
То бишь, область интегрирования, по-вашему, сектор кольца? Нет, это не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение двойного интеграла через полярные координаты.
Сообщение22.10.2017, 14:17 


24/10/16
32
iifat в сообщении #1257920 писал(а):
ubertinderkid в сообщении #1257913 писал(а):
пределы интегрирования
То бишь, область интегрирования, по-вашему, сектор кольца? Нет, это не так.

В чём ошибка данного рассуждения: рассматриваю неравенство $\varphi \le \arctg(1)=\pi/4$, откуда получаю, что $\varphi \in [0;\frac{\pi}{4}]$??

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение двойного интеграла через полярные координаты.
Сообщение22.10.2017, 14:19 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
ubertinderkid в сообщении #1257913 писал(а):
В чем может быть ошибка?
Попробуйте разделить двойное неравенство из задания $G$ на два отдельных и каждое из них приведите к более простому (в данном случае каноническому) виду. Будет понятнее, с какой областью Вы имеете дело.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение двойного интеграла через полярные координаты.
Сообщение22.10.2017, 14:26 


24/10/16
32
Pphantom в сообщении #1257924 писал(а):
ubertinderkid в сообщении #1257913 писал(а):
В чем может быть ошибка?
Попробуйте разделить двойное неравенство из задания $G$ на два отдельных и каждое из них приведите к более простому (в данном случае каноническому) виду. Будет понятнее, с какой областью Вы имеете дело.

$r \ge \cos\varphi$ и $ r \le 3\cos\varphi$. Учитывая, что $\varphi \in [0;\frac{\pi}{4}]$, получаем, что в первом неравенстве $r \ge 1$ (больше большего), во втором - $r \le \frac{3\sqrt{2}}{2}$ (меньше меньшего).

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение двойного интеграла через полярные координаты.
Сообщение22.10.2017, 14:36 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
ubertinderkid в сообщении #1257927 писал(а):
$r \ge \cos\varphi$ и $ r \le 3\cos\varphi$.
Во-первых, куда-то двойки потерялись.
ubertinderkid в сообщении #1257927 писал(а):
Учитывая, что $\varphi \in [0;\frac{\pi}{4}]$, получаем, что в первом неравенстве $r \ge 1$ (больше большего), во втором - $r \le \frac{3\sqrt{2}}{2}$ (меньше меньшего).
Во-вторых, почему Вы решили, что неравенства для каждого конкретного значения угла можно "усиливать"? Вы тем самым просто вырезали из области сравнительно простой ее кусок.

-- 22.10.2017, 14:37 --

И, да, моим советом выше все же стоит воспользоваться. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение двойного интеграла через полярные координаты.
Сообщение22.10.2017, 14:42 


24/10/16
32
Pphantom в сообщении #1257929 писал(а):
ubertinderkid в сообщении #1257927 писал(а):
$r \ge \cos\varphi$ и $ r \le 3\cos\varphi$.
Во-первых, куда-то двойки потерялись.
ubertinderkid в сообщении #1257927 писал(а):
Учитывая, что $\varphi \in [0;\frac{\pi}{4}]$, получаем, что в первом неравенстве $r \ge 1$ (больше большего), во втором - $r \le \frac{3\sqrt{2}}{2}$ (меньше меньшего).
Во-вторых, почему Вы решили, что неравенства для каждого конкретного значения угла можно "усиливать"? Вы тем самым просто вырезали из области сравнительно простой ее кусок.

-- 22.10.2017, 14:37 --

И, да, моим советом выше все же стоит воспользоваться. :-)

Тогда область будет $r \in [\frac{2\sqrt{2}}{2};6]$

-- 22.10.2017, 14:44 --

Pphantom в сообщении #1257924 писал(а):
ubertinderkid в сообщении #1257913 писал(а):
В чем может быть ошибка?
Попробуйте разделить двойное неравенство из задания $G$ на два отдельных и каждое из них приведите к более простому (в данном случае каноническому) виду. Будет понятнее, с какой областью Вы имеете дело.

Что значит канонический вид неравенства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение двойного интеграла через полярные координаты.
Сообщение22.10.2017, 14:59 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
ubertinderkid в сообщении #1257934 писал(а):
Что значит канонический вид неравенства?
Скорее уж уравнения. Вот, например, одна из границ области: $2\,x = x^2+y^2$. Что это за кривая?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение двойного интеграла через полярные координаты.
Сообщение22.10.2017, 15:09 


24/10/16
32
Pphantom в сообщении #1257947 писал(а):
ubertinderkid в сообщении #1257934 писал(а):
Что значит канонический вид неравенства?
Скорее уж уравнения. Вот, например, одна из границ области: $2\,x = x^2+y^2$. Что это за кривая?

Окружность с центром в точке (1;0) и радиусом 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение двойного интеграла через полярные координаты.
Сообщение22.10.2017, 15:21 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Теперь, аналогично, вторую. Потом нарисуйте. Потом нарисуйте то, что написали вы в изначальном письме. Потом сравните.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение двойного интеграла через полярные координаты.
Сообщение22.10.2017, 15:29 


24/10/16
32
iifat в сообщении #1257955 писал(а):
Теперь, аналогично, вторую. Потом нарисуйте. Потом нарисуйте то, что написали вы в изначальном письме. Потом сравните.

Во втором случае это окружность с центром в точке (3;0) и радиусом 3. Если меняем уравнение на неравенство, то получаем большую окружность с вырезанным куском (первой окружностью). Если добавляем третье неравентсво из условия, то большая окружность режется ещё. То есть, мои ограничения во для $r$ не верны. Я правильно понимаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение двойного интеграла через полярные координаты.
Сообщение22.10.2017, 15:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
ubertinderkid
Во-первых, почему $\varphi \geq 0$? Откуда это следует?
Во вторых, границы для $r$ разные при разных значениях $\varphi$. Вы вообще-то как, видели примеры расстановки пределов в кратных интегралах?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение двойного интеграла через полярные координаты.
Сообщение22.10.2017, 15:34 


24/10/16
32
provincialka в сообщении #1257966 писал(а):
ubertinderkid
Во-первых, почему $\varphi \geq 0$? Откуда это следует?
Во вторых, границы для $r$ разные при разных значениях $\varphi$. Вы вообще-то как, видели примеры расстановки пределов в кратных интегралах?

Видел.

-- 22.10.2017, 15:35 --

provincialka в сообщении #1257966 писал(а):
ubertinderkid
Во-первых, почему $\varphi \geq 0$? Откуда это следует?
Во вторых, границы для $r$ разные при разных значениях $\varphi$. Вы вообще-то как, видели примеры расстановки пределов в кратных интегралах?

$\varphi \in [-\pi/2;\pi/4]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение двойного интеграла через полярные координаты.
Сообщение22.10.2017, 15:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
ubertinderkid
Вы неудачно цитаты вставляете. Выделите в тексте только нужный кусок, и нажмите кнопку Вставка. Получится так:
ubertinderkid в сообщении #1257969 писал(а):
Видел.

Ну, а раз видели -- дерзайте! Зависимость(и) $r$ от $\varphi$ вы уже практически нашли...

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение двойного интеграла через полярные координаты.
Сообщение22.10.2017, 15:59 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
ubertinderkid в сообщении #1257963 писал(а):
То есть, мои ограничения во для $r$ не верны. Я правильно понимаю?
Именно. И, что важно, они на самом деле являются функциями $\varphi$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group