2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функция действительного переменного
Сообщение21.10.2017, 03:31 


07/10/15

2400
Уважаемые участники форума, заранее извиняюсь за возможно некорректно поставленный вопрос, но сам я не знаю даже как к нему подступиться. Суть вопроса в следующем: возможно ли подобрать функцию действительной переменной, такую что:
$\left\{
\begin{array}{rcl}
 \int\limits_{a}^{b}F(t)dt&=0 \\
 \int\limits_{a}^{b}t\cdot F(t)dt&=0 \\
\end{array}
\left.$

Можно привести какой нибудь пример, или общий вид семейства таких функций?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция действительного переменного
Сообщение21.10.2017, 03:50 


20/09/05
85
Andrey_Kireew в сообщении #1257460 писал(а):
Можно привести какой нибудь пример,

Тождественно нулевая устроит? Ограничения на функцию/отрезок какие?

(Оффтоп)

В первой строчке точно ноль?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция действительного переменного
Сообщение21.10.2017, 04:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Ну для начала попробуйте явно посчитать эти интегралы для каких-нибудь трех линейно независимых функций (т.е. таких, что ни одна из них не выражается как сумма двух других с постоянными коэффициентами).

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция действительного переменного
Сообщение21.10.2017, 04:56 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Andrey_Kireew
Если вы хотите получить ответ в общем виде, то посмотрите свойства полиномов Лежандра.
Грубо говоря, эти полиномы представляют ортонормированный базис в пространства $L^2$
Это значит, что любую функцию из этого пространства можно представить в виде бесконечной линейной комбинации этих полиномов.
Первые два равенства говорят о том, что у функции $F$ просто должны отсутствовать первые два члена в этом разложении.
То есть общий вид таких функций в $L^2$ выглядит следующим образом:
$F(t)=\sum\limits_{n=2}^{\infty}c_nP_n(t)$
Понятно, что на заданном отрезке ряд должен сходиться в каком-то смысле.

Это справедливо для отрезка $(-1;1)$.
Вам остается понять, как этот отрезок привести к отрезку $(a;b)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция действительного переменного
Сообщение21.10.2017, 11:55 


07/10/15

2400
Большое спасибо fred1996, то что нужно. Теперь я знаю в каком направлении двигаться.

-- 21.10.2017, 13:54 --

Сейчас перепроверил - оказывается требования к функции немного жестче:
$\left\{
\begin{array}{rcl}
 \int\limits_{a}^{b}F(t)dt&=0 \\
 \int\limits_{a}^{b}t\cdot F(t)dt&=0 \\
\int\limits_{a}^{b}t^2\cdot F(t)dt&=0 \\
\end{array}
\left.$

Сейчас я использую функцию
$F(t)=(1-t^2)\cdot e^{-t^2}$
это вейвлет "сомбреро" который, как выясняется удовлетворяет требованиям из первого поста.

По поводу пределов вроде прояснилось - интервал ортогональности $(-\infty; \infty)$, но функция должна быть локализована (в смысле СКО) на конечном интервале $(-a; a)$. Алгебраические многочлены наверное здесь не подойдут. Нужно что то вроде ряда Лорана, или какой то ещё базис. Но хуже всего, то, что она должна быть симметричной. Можно вообще в теории найти такую функцию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция действительного переменного
Сообщение21.10.2017, 18:26 


07/10/15

2400
Нашел самостоятельно, путём двойного дифференцирования вейвлета "сомбреро". Получается такая функция
$F(t)=(3-12t^2+4t^4)e^{-t^2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция действительного переменного
Сообщение21.10.2017, 19:39 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Andrey_Kireew
У вас все три условия дают просто нулевые к-ты для первых трех членов в разложении по полиномам Лежандра. И я не понял, если интервалы интегрирования конечны, при чем тут ортогональность на бесконечной прямой?
Ряд Тейлора, который вы назвали Лораном (ТФКП) не подойдет. Нет ортогональности.

Если интервал бесконечность, можно наверное использовать ту же идею ортогональности для функций типа $P_n\exp(-t^2)$
Не знаю, будет ли это полным базисом для функций $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}F^2(t)dt < \infty$, но некоторый класс функций, удовлетворяющий вашим трем условиям на бесконечном промежутке вы можете построить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция действительного переменного
Сообщение21.10.2017, 23:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Взять произвольную и ортогонализовать к единице, t, $t^2$ и что ещё надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция действительного переменного
Сообщение21.10.2017, 23:34 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Евгений Машеров
Что вы имеете ввиду под произвольной?
ТС вроде хочет найти не одну такую функцию, а класс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция действительного переменного
Сообщение21.10.2017, 23:46 


07/10/15

2400
fred1996 Для справки: ряд Лорана отличается от ряда Тейлора наличием членов с отрицательными степенями
$\frac{ a_1}{x+1}+ \frac{ a_2}{(x+1)^2}+\frac{a_3}{(x+1)^3 ...}$,
можно рассматривать как расширение ряда Тейлора. Но обычно, когда рассматривают ряд Лорана, интересуются именно этими членами. Он конечно же не ортогонален, но условие ортогональности с $ F(t)=1, F(t)=x, F(t)=x^2 $ можно обеспечить как линейную комбинацию нескольких дробных членов.

По поводу ортогональности поясняю: ортогональность нужна на бесконечности, но практически вычисления проводятся на конечном участке, поэтому нужно, чтобы
$\int\limits_{-\infty}^{\infty} t^n\cdot F(t)dt \approx \int\limits_{-a}^{a} t^n\cdot F(t)dt $
для этого и нужно, чтобы норма функции была локализована на конечном интервале.

Тем не менее, одну из таких функций я уже нашел, о чём сообщил в предыдущем посте. Она ортогональна и к $x^3$, но мне от этого только лучше. В принципе, что мне от неё требовалось, она обеспечивает.
Правда всплыла неприятная особенность - этот вейвлет оказался более чувствительным к шумам, по сравнению с "мексиканской шляпой". От этого появились новые проблемы.

Вообще, как я понял, таких функций, как я описал может быть очень много. И не обязательно полиномиальные. Общий вид для них искать нет никакого смысла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция действительного переменного
Сообщение22.10.2017, 03:29 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Andrey_Kireew
Если у вас функция имеет особенности типа полюсов, расположенные на самих отрезках, то интегралы будут расходиться. И смысла в них нет никакого. Если полюса находятся вне отрезков, то значит особенностей внутри отрезков нет и можно функции представлять в виде ряда Тейлора. В любом случае об ортогональности можно забыть.

Потом вы выдвинули условие - ортогональность начальным степеням полиномов. Поэтому и искать нужно среди ортогональных полиномов. Дали бы другие функции типа синусов, искали бы в рядах Фурье. В общем случае задавая ортогональность на каких то начальных функциях, вы должны построить на этих функциях начальный ортонормированный набор, который потом замкнуть на ортонормированный базис.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция действительного переменного
Сообщение22.10.2017, 09:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Подобрать такую функцию не просто, а очень просто. Надо взять произвольную функцию и рассмотреть её линейные комбинации с полиномами. Степень полинома на единицу меньше числа наложенных условий, коэффициенты линейной комбинации берутся так, чтобы выполнялись условия. Полиномы лучше брать ортогональные на выбранном отрезке (поскольку требуется, чтобы искомая функция обращалась в ноль вне его, то пределы интегрирования брать плюс-минус бесконечность или a-b, разницы никакой нет), тогда коэффициент при каждом вычисляется отдельно, в отсутствие ортогональности придётся матрицу обращать.
Так в точности выполняется указанное условие, но, скорее всего, там ещё какие-то пожелания выплывут, ранее не названные, скажем, чтобы в точках a и b искомая функция в ноль обращалась (а может, и ея производные до k-того порядка). Впрочем, и тут выбор бесконечно богат.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group