Еще планиметрия.

[integral2009]

В выпуклом шестиугольнике $ABCDE$ известно, что прямые $BC$ и $EF$ параллельны. Нужно доказать, что $AB+AF=CD+DE$, если углы при вершинах $B,C,E,F$ равны.



Рассматривая два четырехугольника, на которые разбивает диагональ исходного шестиугольника, получаем, что угол $D$ равен углу $A$. Ну и накрест лежащие углы отметил. Пока что дальше нет идей, можете, пожалуйста, подсказать?

[gris]

Видна ещё одна пара накрест лежащих углов, а значит ещё две параллельные.
Вообще, полезно бывает перечерчивать чертёж, если удаётся найти какие-то новые соотношения.
Могут зародиться новые идеи. Достроить что-то

[fred1996]

integral2009
Можно вообще не проводить никаких диагоналей, а просто заметить, что углы $$A$ и $D$ расположены весьма симметрично относительно заданных параллельных прямых.

[slavav]

fred1996 в сообщении #1255876 писал(а):

integral2009
Можно вообще не проводить никаких диагоналей, а просто заметить, что углы $$A$ и $D$ расположены весьма симметрично относительно заданных параллельных прямых.

Не заметил симметрии. Под условия задачи подходит даже "почти пятиугольник" с очень короткой одной стороной. Или вы о другом?

Я бы попытался вычислить расстояние между исходными параллельными сторонами.

[integral2009]

Спасибо. Понял, что у шестиугольника противоположные стороны попарно параллельны. Но мне это пока это ничего не дает((

-- Вс окт 15, 2017 20:46:36 --

Лишь интуитивно кажется, что может получится правильный шестиугольник в итоге*

[gris]

Нет, шестиугольник не обязательно правильный Но Вы правы, что есть три пары параллельных сторон. Надеяться на равенство каких-то сторон, увы, не приходится.
Сумма длин двух отрезков довольно неудобна. И шестиугольник неудобен.
А вот пример конфигурации: возьмите прямоугольник и отстригите от него противоположные уголки параллельными линиями. Они могут располагаться на произвольном расстоянии от соответствующих вершин, но угол их наклона вовсе не произволен. Вместо прямоугольника можно взять параллелограмм. Чем он удобен? Тем, что противоположные стороны равны. А теперь обратная операция: превращаем наш шестиугольник в параллелограмм.

[integral2009]

Мне кажется, что если доказать, что $CE=BF$ и $CE||BF$, то можно из точки $F$ отложить отрезок $FK||DE$ и $AK||CD$, тогда получим параллелограмм $ABFK$, притом $FK=DE, AK=CD$, тогда мы уже доказали то, что нужно. Но вот насчет паралелограмма не ясно. Правильное ли направление мысли?

[fred1996]

Господа, мне как физику в данной задаче помогла физическая интуиция. А именно применение оптического закона - угол падения равен углу отражения. Попытайтесь найти в этой задаче падающие и отраженные лучи.

[gris]

Ну вот пример моего видения проблемы

[fred1996]

gris
Вот если бы вы четко нарисовали картинку, то увидели бы, что луч DE, отражаясь от вертикальной стенки переходит в луч EF, а луч CB в луч BA
Вертикальной - в данном случае перпендикулярной синим прямым.

[integral2009]

gris в сообщении #1255889 писал(а):

Нет, шестиугольник не обязательно правильный Но Вы правы, что есть три пары параллельных сторон. Надеяться на равенство каких-то сторон, увы, не приходится.
Сумма длин двух отрезков довольно неудобна. И шестиугольник неудобен.
А вот пример конфигурации: возьмите прямоугольник и отстригите от него противоположные уголки параллельными линиями. Они могут располагаться на произвольном расстоянии от соответствующих вершин, но угол их наклона вовсе не произволен. Вместо прямоугольника можно взять параллелограмм. Чем он удобен? Тем, что противоположные стороны равны. А теперь обратная операция: превращаем наш шестиугольник в параллелограмм.

Спасибо, да, действительно, можно достроить до параллелограмма.
В связи с введенными обозначениями и равенством противоположных углов параллелограмма, можно написать следующее:

$r+y=t+a$, а также $n+x=b+k$

А нам нужно доказать равенство $x+y=a+b$

Для этого сложим полученные уравнения: $x+y+r+n=a+b+t+k$

Пока что больше не вижу(( Правильно ли достроил?

[gris]

Нарисовали совершенно правильно, но немножко не совсем аккуратно. Ведь некоторые малюсенькие отрезочки равны. Потому, что малюсенькие треугольнички равнобедренны, так как углы при основании смежны равным.
fred1996, согласен с Вашим предложением, а также с предыдущим про излишность диагоналей.

[integral2009]

Точно, теперь все понял! Спасибо!

$x+y+r+n=a+b+t+k$

Ввиду равенства маленьких отрезков из этой формулы следует ответ.!

[fred1996]

gris
Перерисовал картинку для наглядности

[gris]

fred1996. Очень симпатично. Хороший пример, как физика помогает математике