Экстремумы кривизны выпуклой замкнутой кривой

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

У меня такое ощущение, что что бы с понятием кривизны плоских кривых было все благополучно надо рассматривать кривые у которых кривизна больше нуля. Иначе будут проблемы. Например, у кривых $y=x^5$ и $y=|x|^5$ натуральное уравнение (если исходить из стандартного определения кривизны как $k=|\ddot{\boldsymbol r}|$) одинаково. Что бы различать такие кривые на плоскости можно ввести знак кривизны, который будет показывать, что направление выпуклости кривой при переходе через ноль кривизны поменялось.

[arseniiv]

(Оффтоп)

А кто рассматривает беззнаковую кривизну?

[Munin]

pogulyat_vyshel в сообщении #1256768 писал(а):

У меня такое ощущение, что что бы с понятием кривизны плоских кривых было все благополучно надо рассматривать кривые у которых кривизна больше нуля.

Это понятие не слишком легко обобщить на многомерное пространство.

[arseniiv]

Вообще кривизну можно нарисовать в общем случае в виде бивектора (у меня дежавю) $\mathbf r'\wedge\mathbf r''/\lVert\mathbf r'\rVert^3$ (правильно написано?) и в виде вектора, получаемого свёрткой того с $\mathbf r'$ (или $\mathbf r''$). Постоянство знака в этом случае можно будет определить только для плоской кривой, когда всевозможные значения кривизны попадают в одномерное пространство, и их можно друг на друга делить и судить по знаку результата о чём-то там.

[ewert]

arseniiv в сообщении #1256773 писал(а):

(Оффтоп)

А кто рассматривает беззнаковую кривизну?

Я. Поскольку только она и идейна.

[svv]

Munin в сообщении #1256458 писал(а):

Сколько экстремумов кривизны у гладкой замкнутой кривой в $\mathbb{R}^3,$ никакой сколь угодно малый участок которой не лежит в плоскости?

Думаю, можно построить и с двумя. Начать с плоской кривой — улитки Паскаля с петлёй: $\rho=1+2\cos\varphi, z=0$ (как тут трактуются отрицательные значения $\rho$, надеюсь, понятно). Потом её чуть-чуть деформировать, придавая точкам ненулевые значения $z$ (например, по закону $z=a\sin\varphi, |a|\ll 1$) — так, чтобы новая кривая нигде не была плоской, не имела самопересечений, а на экстремумы деформация не повлияла.

Статье В.Д.Седых, на которую дал ссылку Алексей К., это не противоречит. Там исследуются выпуклые кривые. И рассматриваются не точки экстремума кривизны, а точки нулевого кручения.

[arseniiv]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1256789 писал(а):

Поскольку только она и идейна.

Неудобная ситуация. Ответить «почему же?» — оффтопик разрастётся на пять страниц. Не ответить — может посчитаться согласием ad ignorantiam.

[Алексей К.]

Я исхожу из стандартного определения кривизны

$$ k(s)=\tau'(s),\quad\text{где}\quad \tau(s)=\arg(x'_s+\mathrm{i}\,y'_s).$$

Имеем замкнутую гладкую выпуклую кривую $AMBNA$ длины $L$ со всюду положительной непрерывной кривизной $k(s)$.
Предположим, что она имеет всего две вершины в точках $A$ ($k(0)=k_1$, минимум кривизны) и $B$ ($k(s_1)=k_2$, максимум). Совместим хорду $\overrightarrow{AB}$ с осью абсцисс декартовой системы. Верхний кусок кривой отразим симметрично относительно хорды. При отражении ($BNA\to BN'A$, не нарисовано) кривизна поменяла знак, поскольку $\tau(s)$ заменилось на $-\tau(s)$. При реверсировании $(BN'A\to A_2NB_2)$ знак восстановился, поскольку $\tau(s)$ заменилось на $\pi+\tau(L-s)$.

$$ \begin{picture}(110,50)(10,25) \put(-10,0){\vector(1,0){105}} \put(-8,-8){$A$}\put(40,-40){$M\to$} \put(80,-8){$B$}\put(30,28){${\color{blue}\leftarrow N}$} \put(0,0){\vector(1,-1){26}}\put(26,-30){$\alpha$} \put(80,0){\vector(-1,3){10}}\put(74,24){$\beta$} \put(0,0){\circle*{4}}\put(80,0){\circle*{4}} \thicklines \qbezier(0,0)(30,-30)(60,-30) \qbezier(60,-30)(90,-30)(80,0) \qbezier(80,0)(65,25)(25,25) \qbezier(25,25)(-25,25)(0,0) \end{picture}\quad % \begin{picture}(110,50)(10,25) \put(-10,0){\vector(1,0){105}} \put(-8,-8){$A_1$}\put(40,-40){$M\to$} \put(81,-8){$B_1$} \put(0,0){\vector(1,-1){26}}\put(26,-30){$\alpha_1$} \put(80,0){\vector(-1,3){10}}\put(74,24){$\beta_1$} \put(0,0){\circle*{4}}\put(80,0){\circle*{4}} \thicklines \qbezier(0,0)(30,-30)(60,-30) \qbezier(60,-30)(90,-30)(80,0) \end{picture}\quad % \begin{picture}(110,50)(10,25) \put(-10,0){\vector(1,0){105}} \put(-2,-8){$A_2$} \put(80,-8){$B_2$}\put(30,-35){${\color{red}N\to}$} \put(0,0){\vector(-1,-1){20}}\put(-24,-27){$\alpha_2$} \put(80,0){\vector(1,3){10}}\put(90,22){$\beta_2$} \put(0,0){\circle*{4}}\put(80,0){\circle*{4}} \thicklines \qbezier(80,0)(65,-25)(25,-25) \qbezier(25,-25)(-25,-25)(0,0) \end{picture} $$

У обеих полученных кривых, $A_1MB_1$ и $A_2NB_2$, кривизна положительна и монотонно возрастает от $k_1$ до $k_2$.

Посмотрим, как монотонное возрастание и положительность кривизны $k(s),\quad 0\le s\le S,$ отражаются на углах $\alpha$ и $\beta$:

$$\alpha=\tau(0),\quad \beta=\tau(S),\quad \tau(s)=\alpha+\int\limits_0^s k(t)\,dt.$$

Функция $\tau(s)$ строго монотонна, замены $s\leftrightarrow \tau$ при интегрировании допустимы.

$$\cos\beta=\cos\alpha-\int\limits_\alpha^\beta \sin\tau\,d\tau=\cos\alpha-\int\limits_0^S y'_s(s)k(s)\,ds,$$

$$\cos\beta-\cos\alpha=-\left.y(s)k(s)\strut\right|_0^S+\int\limits_0^S y(s)\,dk(s)<0$$

(поскольку $y(0)=y(S)=0,$ $y(s)\le0,$ $dk>0).$ Стало быть, $|\beta|>|\alpha|,\quad \beta>-\alpha,\quad \alpha+\beta>0$ (это ранее упомянутая теорема Фогта).
Значит, $\alpha_1+\beta_1>0$ и $\alpha_2+\beta_2>0.$ Но $\alpha_2+\beta_2=(-\pi-\alpha_1)+(\pi-\beta_1)=-(\alpha_1+\beta_1).$ Противоречие.

(Это док-ство теоремы Фогта я когда-то обнаружил в монографии Гуггенхаймера "Differential geometry".)