2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Утверждения про треугольники
Сообщение11.10.2017, 00:22 


02/08/12
142
Пусть $a$, $b$, $c$, $h_{a}$, $h_{b}$, $h_{c}$, $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно стороны, высоты и углы в произвольном треугольнике. Докажите, что:

$\frac{a+b+c}{h_{a}+h_{b}+h_{c}}=\frac{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}{\sin\alpha\sin\beta+\sin\alpha\sin\gamma+\sin\beta\sin\gamma}$,

$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}}=\frac{\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma}{\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta+\sin^{2}\alpha\sin^{2}\gamma+\sin^{2}\beta\sin^{2}\gamma}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждения про треугольники
Сообщение16.10.2017, 02:16 


02/08/12
142
Пусть $a$, $b$, $c$, $m_{a}$, $m_{b}$, $m_{c}$, $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно стороны, медианы и углы в произвольном треугольнике. Если:

$n\equiv\frac{a+b+c}{m_{a}+m_{b}+m_{c}}$,

то докажите, что:

$\begin{array}{ll}
\left(n^{2}+4\right)^{2}\left(81n^{4}-56n^{2}+16\right)\left(\sin^{6}\alpha+\sin^{6}\beta+\sin^{6}\gamma\right)-\\
\\
-6\left(n^{2}+4\right)\left(3n^{2}-4\right)^{3}\left(\sin^{5}\alpha\sin\beta+\sin^{5}\alpha\sin\gamma+\right.\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.+\sin^{5}\beta\sin\alpha+\sin^{5}\beta\sin\gamma+\right.\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.+\sin^{5}\gamma\sin\alpha+\sin^{5}\gamma\sin\beta\right)-\\
\\
-3\left(27n^{8}+368n^{6}-480n^{4}+1792n^{2}-1280\right)\cdot\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdot\left(\sin^{4}\alpha\sin^{2}\beta+\sin^{4}\alpha\sin^{2}\gamma+\right.\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.+\sin^{4}\beta\sin^{2}\alpha+\sin^{4}\beta\sin^{2}\gamma+\right.\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.+\sin^{4}\gamma\sin^{2}\alpha+\sin^{4}\gamma\sin^{2}\beta\right)+\\
\\
+4\left(3n^{2}-4\right)^{2}\left(9n^{4}+24n^{2}+80\right)\cdot\\
\cdot\left(\sin^{3}\alpha\sin^{3}\beta+\sin^{3}\alpha\sin^{3}\gamma+\sin^{3}\beta\sin^{3}\gamma\right)+\\
\\
+6\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\left[6\left(135n^{8}+304n^{6}+288n^{4}-2304n^{2}+3840\right)\cdot\right.\\
\left.\cdot\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta\sin^{2}\gamma+\left(3n^{2}-4\right)^{2}\left(9n^{4}+24n^{2}+80\right)\cdot\right.\\
\left.\left(\sin^{3}\alpha+\sin^{3}\beta+\sin^{3}\gamma\right)-2\left(27n^{8}-96n^{4}+1024n^{2}-1280\right)\cdot\right.\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.\cdot\left(\sin^{2}\alpha\sin\beta+\sin^{2}\alpha\sin\gamma+\right.\right.\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.\left.+\sin^{2}\beta\sin\alpha+\sin^{2}\beta\sin\gamma+\right.\right.\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.\left.+\sin^{2}\gamma\sin\alpha+\sin^{2}\gamma\sin\beta\right)\right]=0.
\end{array}
$

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждения про треугольники
Сообщение17.10.2017, 12:19 
Аватара пользователя


27/02/09

416
Мегаполис
Vitalius в сообщении #1254650 писал(а):
Пусть $a$, $b$, $c$, $h_{a}$, $h_{b}$, $h_{c}$, $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно стороны, высоты и углы в произвольном треугольнике. Докажите, что:

$\frac{a+b+c}{h_{a}+h_{b}+h_{c}}=\frac{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}{\sin\alpha\sin\beta+\sin\alpha\sin\gamma+\sin\beta\sin\gamma}$,

$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}}=\frac{\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma}{\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta+\sin^{2}\alpha\sin^{2}\gamma+\sin^{2}\beta\sin^{2}\gamma}$.


Через радиус вписанной окружности и углы треугольника выражаются все стороны и высоты треугольника.
PS Маловато олимпиадного в задаче, имхо.

___________
Задача во втором посте (сообщении) топика наверно любопытна для
применения инструментария символьных преобразований в MATLAB, Maple, и др.,
то есть на каких-то олимпиадах по программированию математических мегапакетов? 8-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждения про треугольники
Сообщение17.10.2017, 18:00 


02/08/12
142
Мастак в сообщении #1256309 писал(а):
___________
Задача во втором посте (сообщении) топика наверно любопытна для
применения инструментария символьных преобразований в MATLAB, Maple, и др.,
то есть на каких-то олимпиадах по программированию математических мегапакетов? 8-)


Да, идея именно в этом - решать с помощью систем символьной математики. Иначе практически невозможно получить сие тождество. Однако оно весьма некрасиво.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group