2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказательство перечислимости вещественных чисел
Сообщение12.10.2017, 11:20 


30/09/17
9
Составим функцию $f: N \rightarrow R$. Из аксиомы выбора следует, что существует функция $c$, которая принимает на вход любое непустое множество и выдает его элемент.

Зададим вспомогательную функцию $h$, определенную на $N \cup \{0\}$:
$h(0) = R$
Иначе $h(i) = h(i-1) \setminus c(h(i-1))$

А теперь построим функцию $f$:
$f(1) = c(h(0))$
Иначе $f(i) = c(h(i - 1))$

$f$ - сюрьекция (наверное вот оно неправильное утверждение? Можно пруфов или контрпруфов к этому?), а ещё она инъекция, следовательно она биекция. ЧТД.

-- 12.10.2017, 11:31 --

Блин, а ведь существует $c$, из подмножеств $R$, в которых есть хотя бы 1 элемент вне $[0, 1]$, никогда не выберет элемент из $[0, 1]$. Следовательно то, что я по интуиции назвал сюрьекция - не всегда сюрьекция. А доказать, что она хоть для некоторых c является сюрьекцией, наверное невозможно, да? Если да, то я понял ошибку, и тему можно закопать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство перечислимости вещественных чисел
Сообщение12.10.2017, 11:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
lyakusha_qwerty в сообщении #1255068 писал(а):
Из аксиомы выбора следует, что существует функция $c$, которая принимает на вход любое непустое множество и выдает его элемент.
Немного не так: для любого множества непустых множеств существует функция на этом множестве, для которой $f(x) \in x$. Но в данном случае это, скорее всего, неважно.

lyakusha_qwerty в сообщении #1255068 писал(а):
Иначе $h(i) = h(i-1) \setminus c(h(i-1))$
Наверное, имелось в виду $h_i = h(i - 1) \setminus \{c(h(i - 1))\}$?

lyakusha_qwerty в сообщении #1255068 писал(а):
$f$ - сюрьекция (наверное вот оно неправильное утверждение? Можно пруфов или контрпруфов к этому?)
Можно, для этого даже необязательны действительные числа.
Определим функцию $c$ для любых непустых подмножеств $A \subset N$ следующим образом:
$$c(A) = \begin{cases} \min \{n \in A \mid n = 2k\}, \text{если $A$ содержит хотя бы один четный элемент},\\ \min A, \text{если $A$ не содержит четных элементов}\end{cases}$$

Тогда ваша $f(x)$ будет $f(x) = 2x$, не сюрьекция.

-- Чт окт 12, 2017 09:38:11 --

lyakusha_qwerty в сообщении #1255068 писал(а):
Блин, а ведь существует $c$, из подмножеств $R$, в которых есть хотя бы 1 элемент вне $[0, 1]$, никогда не выберет элемент из $[0, 1]$. Следовательно то, что я по интуиции назвал сюрьекция - не всегда сюрьекция. А доказать, что она хоть для некоторых c является сюрьекцией, наверное невозможно, да? Если да, то я понял ошибку, и тему можно закопать.
Да, все так.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group