Ошибка в книге Н.К.Верещагин, А.Шень. Лекции по математическ

[Yarkey]

Ошибка в разделе 5.1 (аксиомы равенства) и далее по тексту. Для примера рассмотрим произвольную модель теории коммутативных групп с групповой операцией $\cdot$, называемой умножением, при этом символ равенства $\sim$ интерпретируем как равенство квадратов. Заметим, что замена обычного равенства на равенство квадратов не влияет на истинность аксиом теории групп. Более того, отношение $\sim$ рефлексивно, симметрично и транзитивно. В первую схему аксиом можно подставить двухместный функциональный символ, обозначающий групповую операцию: $((x_1 \sim x_2)\land(y_1 \sim y_2))\to x_1\cdot y_1 \sim x_2 \cdot y_2$. Ему эквивалентно истинное утвержение $((x_1^2 = x_2^2)\land(y_1^2 = y_2^2))\to (x_1\cdot y_1)^2 = (x_2 \cdot y_2)^2$, где $=$ понимается в привычном смысле, как совпадение элементов. Во вторую схему аксиом можно подставить само отношение $\sim$, построить эквивалентное утверждение и так же убедиться в его истинности. В итоге построена нормальная интерпретация, которая удовлетворяет всем аксиомам равенства, но не является равенством в привычном смысле (в смысле совпадения элементов). Осталось подобрать коммутативную группу, в которой $\exists x,y \ x^2=y^2 \land x \neq y$, что завершает противоречие.

[Xaositect]

К какой именно теореме Вы строите контрпример?

Yarkey в сообщении #1254716 писал(а):

В итоге построена нормальная интерпретация, которая удовлетворяет всем аксиомам равенства, но не является равенством в привычном смысле (в смысле совпадения элементов).

По определению, нормальная интерпретация - это когда равенство интерпретируется равенством в обычном смысле. Так что у Вас получилась не нормальная интерпретация. Для того, чтобы построить нормальную, надо рассмотреть классы эквивалентности элементов с одним и тем же квадратом. Если немного подумать, это означает рассмотрение подгруппы из квадратов.