Неравенство с е

[deep blue]

$$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n} < 1+1+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\cdots+\dfrac{1}{n!}< \left( 1+\dfrac{1}{n+1000} \right)^{n+1000}$$

[deep blue]

Кажется поторопился, оно нарушается. Как же изменить правую часть чтобы оно выполнялось? Вроде так будет правильно:

$$\dots<\left(1+\dfrac{1}{1000n} \right)^{1000n}$$

Улучшения приветствуются!

[iifat]

Почитать внимательно про это самое $e$.

[ИСН]

Так тоже когда-то нарушится.

[deep blue]

ИСН
Да уж, не выходит цветочек.
iifat, Про $e<\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}$ я в курсе, но смысл задачи в том, чтобы правая часть имела вид $\left(1+\dfrac{1}{f(n)}\right)^{f(n)}$ но ничего путного не выходит.

[RIP]

Учитывая асимптотические формулы

\[\begin{aligned} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}&=\mathrm{e}-\frac{\mathrm{e}+o(1)}{2n},\\ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}&=\mathrm{e}-\frac{1+o(1)}{(n+1)!}, \end{aligned}\]

ничего лучше $f(n)\sim\frac{\mathrm{e}}{2}(n+1)!$ не выйдет.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Someone]

deep blue в сообщении #1254656 писал(а):

Про $e<\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}$ я в курсе

А про то, что $\left(1+\frac 1n\right)^n<e$, не в курсе?

[ИСН]

Так этот факт использовался, вокруг него и шла вся игра. Но обогнать факториал оказалось проблематично.