2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Упорядоченная пара
Сообщение08.10.2017, 13:26 


08/03/17
40
Помогите разобраться с определением упорядоченной пары.
По Кудрявцеву:
Цитата:
Пара вида $\{x, \{x, y\}\}$, где $x \in X, y \in Y$, $\{x, y\}$ - пара элементов
$x, y$ называется упорядоченной парой элементов $x$ и $y$.
Элемент $x$ называется первым элементом упорядоченной пары $\{x, \{x, y\}\}$,
а элемент $y$ - вторым.
Упорядоченная пара $\{x, \{x, y\}\}$ обозначается через $(x, y)$.


Почему пишется множество с элементом $x$ и парой $\{x, y\}$?
Почему пара не обозначается просто как множество $\{x, y\}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченная пара
Сообщение08.10.2017, 13:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Пара должна быть упорядоченной, то есть если $x$ и $y$ различны, то $(x, y)$ и $(y, x)$ должны быть различны. Множества же $\{x, y\}$ и $\{y, x\}$ имеют одни и те же элементы, значит, они равны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченная пара
Сообщение08.10.2017, 14:36 


08/03/17
40
Это понятно. Меня смущает сама запись $\{x, \{x, y\}\}$. Это значит, что первым элементом в упорядоченной паре является $x$? А если запись была бы такой $\{y, \{x, y\}\}$, то это значило бы, что первым является $y$ и упорядоченная пара записывалась бы как $(y, x)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченная пара
Сообщение08.10.2017, 14:37 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
hiraev в сообщении #1254065 писал(а):
Это значит, что первым элементом в упорядоченной паре является $x$? А если запись была бы такой $\{y, \{x, y\}\}$, то это значило бы, что первым является $y$ и упорядоченная пара записывалась бы как $(y, x)$?
Да, именно так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченная пара
Сообщение08.10.2017, 14:40 


08/03/17
40
Спасибо за ответы! Вопрос исчерпан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченная пара
Сообщение10.10.2017, 21:04 


08/03/11
273
У Кудрявцева ошибка. Верно у Куратовского, Винера и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченная пара
Сообщение10.10.2017, 21:12 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Это ошибка только в том смысле, что мейнстримное определение — это $\{\{x\},\{x,y\}\}$, и у него есть некоторые преимущества перед данным, а корректно оно ровно настолько же. Можно придумать произвольное число столь же корректных конструкций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченная пара
Сообщение18.10.2019, 22:11 


18/10/19
7
Случайно наткнулся на этот топик и вспомнил далёкую юность, бдения на учебником анализа Кудрявцева в 3-х томах...
Помнится, меня тоже смущало нагромождение скобок в определении упорядоченных наборов элементов. Так и не выяснил тогда, что получится, если в индуктивном определении "упорядоченной N-ки" раскрыть скобки. (Я инженер, тонкости метаматематики и прочие подобные вещи хоть и увлекательны, но практического значения для меня не имеют.) Но всё же, лучше поздно, чем никогда:
если я правильно понял тогда и понимаю сейчас, то "упорядоченная тройка" $(x,y,z)$ - это $\left\lbrace \left\lbrace x \right\rbrace, \left\lbrace x,y \right\rbrace, \left\lbrace x,y,z \right\rbrace \right\rbrace$ и аналогично "упорядоченная четвёрка" $(x,y,z,t)$ - это $\left\lbrace \left\lbrace x \right\rbrace, \left\lbrace x,y \right\rbrace, \left\lbrace x,y,z \right\rbrace, \left\lbrace x,y,z,t \right\rbrace \right\rbrace$ ... и так далее, в том же духе.
Это так или я ошибаюсь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченная пара
Сообщение18.10.2019, 22:38 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Так их можно определить, но композицией пар, определённых по Куратовскому, получается другое.

Например, $$(x, y, z) \equiv ((x, y), z) \equiv (\{\{x\}, \{x, y\}\}, z) \equiv \{\{\{\{x\}, \{x, y\}\}\}, \{\{\{x\}, \{x, y\}\}, z\}\},$$что не совпадает с $\{\{x\}, \{x, y\}, \{x, y, z\}\}$.

Вообще же ещё раз стоит подчеркнуть, что это всё технические детали. От упорядоченных $n$-к требуется только одно: определение их равенства через равенство элементов, это их математическая суть, а нюансы определения через чистые множества — просто способ не добавлять их в теорию множеств как примитивы и избежать удлинения всевозможных теоретико-множественных доказательств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченная пара
Сообщение18.10.2019, 22:41 


18/10/19
7
Ага... вот и прояснилось.
Спасибо. Понятно, что "внутренняя структура" - это не главное, главное - однозначность упорядочения, но всё-таки интересно же.

-- 18.10.2019, 23:15 --

Кстати...
Надо сказать, что нигде, ни в одной книжке я не встречал операции раскрытия скобок для упорядоченной n-ки при n>2 - труд по расстановке непролазного набора скобок в таких случаях везде доверен интересующемуся читателю. А между тем, даже для тройки элементов, если действовать по Куратовскому, частокол получается довольно утомительным. А результат совсем не очевидным. И не у каждого терпения хватит.
Это так, мысли вслух.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченная пара
Сообщение18.10.2019, 23:27 


17/08/19
246

(Оффтоп)

A255 в сообщении #1421472 писал(а):
Случайно наткнулся на этот топик и вспомнил далёкую юность, бдения на учебником анализа Кудрявцева в 3-х томах...
Позвольте поинтересоваться, как Вы понимаете предел по Коши? У меня первоначальное знакомство с матаном тоже было по Кудрявцеву, но (при всем к нему уважении) определение предела по непроколотым окрестностям мне сильно не зашло.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченная пара
Сообщение18.10.2019, 23:37 


18/10/19
7

(Оффтоп)

oleg.k, форум меня предупреждает об ответственности за развитие оффтопика.
Но в любом случае, чтобы ответить на ваш вопрос, мне нужно подробнее знать, что именно вас смутило.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченная пара
Сообщение19.10.2019, 00:09 


17/08/19
246
Кудрявцев писал(а):
Определение 9. Точка $a$ называется пределом функции $f: X \to \mathbb{R}$ при $x \to x_0$ (или, что то же, в точке $x_0$), если для любой окрестности $U(a)$ точки $a$ существует такая окрестность $U(x_0)$ точки $x_0$, что $f(X \cap U(x_0)) \subset U(a)$.


Как видите, в определении фигурируют непроколотые окрестности аргумента. В общепринятом определении окрестности проколотые. С точки зрения определения Кудрявцева, функция $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $$\begin{cases}
$f(x) = x,&\text{если $x \in \mathbb{R} \backslash 1$;}\\
2,&\text{если $x = 1$;}
\end{cases}$$
предела в точке $x_0 = 1$ не имеет. А с точки зрения общепринятого имеет и он равен единице. Понятно, что разница не очень большая. Матан можно построить, пользуясь любым определением. Но нюансы есть. Например, по Кудрявцеву предел композиции двух функций равен пределу внешней, между тем, как с т.з. общепринятого определения, эта теорема не верна (чтобы она стала верна, надо либо потребовать непрерывность внешней, либо наложить очевидное условие на внутреннюю). Мне предел по Кудрявцеву кажется и неудобным, и не отвечающим идее предела (имхо предел - это не про все точки из окрестности аргумента, а про те, которые "рядом"). Вот я и решил поинтересоваться, удобно ли Вам мыслить предел по Коши с т.з. определения Кудрявцева.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченная пара
Сообщение19.10.2019, 00:32 


18/10/19
7
Честно говоря, таких злокачественных мест у Кудрявцева я не помню. Насколько понимаю, в приведённой формуле построен совершенно искусственный пример функции с неустранимым разрывом. И я бы не сказал, что по общепринятой точке зрения предел в $x_0 = 1$ равен единице - дело-то в том, что определённая в фигурной скобке функция вовсе не тождественна f(x)=x, определённой на всей прямой. Это разные функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченная пара
Сообщение19.10.2019, 00:42 


17/08/19
246
A255 в сообщении #1421506 писал(а):
Насколько понимаю, в приведённой формуле построен совершенно искусственный пример функции с неустранимым разрывом.
Ну почему же искусственный? Тогда и функция Дирихле искусственная, и функция Римана... А вот разрыв как раз таки устранимый. Оба односторонних предела существуют и совпадают.

-- 19.10.2019, 00:47 --

A255 в сообщении #1421506 писал(а):
И я бы не сказал, что по общепринятой точке зрения предел в $x_0 = 1$ равен единице - дело-то в том, что определённая в фигурной скобке функция вовсе не тождественна f(x)=x, определённой на всей прямой. Это разные функции.
А чему тогда равен предел в этой точке $x_0 = 1$ по общепринятой точке зрения? Функции конечно же не тождественны. Но мы же не будем дискриминировать эту функцию лишь только потому, что она не тождественна какой-то другой функции :-)

-- 19.10.2019, 00:50 --

A255 в сообщении #1421506 писал(а):
Честно говоря, таких злокачественных мест у Кудрявцева я не помню.
Извиняюсь, не указал страницу. В моем издании предложение из цитаты находится на с. 179.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group