Диффур со сдвигом переменной

[Human]

Из любопытства возник вопрос о решении уравнения вида $f'(x)=f(x+c)$, $c$ - произвольная константа. То есть, нахождение таких функций, дифференцирование которых просто сдвигает их на фиксированное число. Примерами таких нетривиальных функций являются экспонента ($c=0$) и синус с косинусом ($c=\frac{\pi}2$). А в общем случае как найти решения?

Пробовал искать в виде ряда Тейлора, но тогда получаются соотношения на коэффициенты, из которых трудно что-то выразить. Других идей пока нет.

[dsge]

Необъятная тема. Google: "дифференциальные уравнения с запаздыванием" или "дифференциально-разностные уравнения".

[kp9r4d]

Разве если Фурье к обеим частям применить, все решения не получатся даром?

[Red_Herring]

kp9r4d в сообщении #1252002 писал(а):

Разве если Фурье к обеим частям применить, все решения не получатся даром?

При условии ограничения на класс функций, допускающих не совсем уж экзотическое преобразование Фурье. В противном случае вся трудность перенесется на полученное уравнение.

[demolishka]

Базовый результат уравнений с запаздыванием такой (пусть $c>0$ и все функции хорошие): если зафиксировать поведение искомой функции на отрезке $[-c,0]$, то существует единственное решение с данным фиксированным началом и удовлетворяющее уравнению на отрезке $[0,T]$, причем его можно неограниченно продолжать вправо. А вот влево продолжать не всегда удается.

Если же Вы рассматриваете уравнение на всей оси, то решения в точности соответствуют начальным данным (=функциям на отрезке $[-c,0]$), для которых решение можно продолжить не только вправо, но и влево. Наверное, такие начальные данные стоит искать на аттракторе системы, по аналогии с задачами математической физики, где решения, вообще говоря, не определяются в отрицательные моменты времени, зато таким свойством обладают решения составляющие аттрактор соответствующей динамической системы.

[Red_Herring]

demolishka в сообщении #1252019 писал(а):

А вот влево продолжать не всегда удается.

Как раз влево продолжается простым интегрированием на каждом шаге. А чтобы продолжить вправо нужно дифференцировать на каждом шаге: тогда если на исходном отрезке функция была не бесконечно гладкой, то на правом луче получится обобщенная функция бесконечной сингулярности. А если на исходном отрезке функция была бесконечно гладкой, то на правом луче получится тоже гладкая функция, но как правило быстро растущая.

В любом случае почти все такие решения плохо находятся через преобразование Фурье.

[Human]

Всем спасибо за обсуждение! Ключевые слова для поиска мне дали, литературу я уже нашел, буду потихоньку разбираться.

Red_Herring в сообщении #1252028 писал(а):

А если на исходном отрезке функция была бесконечно гладкой, то на правом луче получится тоже гладкая функция, но как правило быстро растущая.

Насколько я понимаю, там возникает проблема со "стыковкой" решений на соседних отрезках, из-за чего "решение" может в таких точках не быть дифференцируемым. Об этом говорил demolishka.

Да, меня интересуют только классические решения (непрерывно дифференцируемые) и на всей оси.

[Red_Herring]

Human в сообщении #1252195 писал(а):

Насколько я понимаю, там возникает проблема со "стыковкой" решений на соседних отрезках, из-за чего "решение" может в таких точках не быть дифференцируемым.

Да, конечно, я был неправ: без условий согласования $f^{(n+1)}(0)=f^{(n)}(c)$ решение будет обобщенным

[sergei1961]

Так какое явное решение исходного уравнения?

[mihiv]

Конкретно для этого уравнения явное решения можно искать в виде $f(x)=e^{bx},$ для определения постоянной $b$ получим уравнение $b=e^{bc}\qquad (1)$. При $c<0$ уравнение (1) имеет единственное действительное решение, при $c>0$ может иметь два, одно или не иметь решений. То есть решение исходного уравнения при заданном начальном условии может быть не единственное.

[sergei1961]

mihiv -ух ты, стоп. Ведь последнее уравнение через функцию Ломмеля решается явно. Можно не только для действительных, как Вы написали, но и для комплексных выписать все ветви решений, всё известно. Это где-то написано явно? Есть теорема единственности, чтобы найти все решения.

[mihiv]

sergei1961 в сообщении #1252529 писал(а):

sergei1961
Это где-то написано явно?

sergei1961, об этом я ничего не знаю.

[Евгений Машеров]

demolishka в сообщении #1252019 писал(а):

Базовый результат уравнений с запаздыванием такой (пусть $c>0$ и все функции хорошие): если зафиксировать поведение искомой функции на отрезке $[-c,0]$, то существует единственное решение с данным фиксированным началом и удовлетворяющее уравнению на отрезке $[0,T]$, причем его можно неограниченно продолжать вправо. А вот влево продолжать не всегда удается.

Если же Вы рассматриваете уравнение на всей оси, то решения в точности соответствуют начальным данным (=функциям на отрезке $[-c,0]$), для которых решение можно продолжить не только вправо, но и влево. Наверное, такие начальные данные стоит искать на аттракторе системы, по аналогии с задачами математической физики, где решения, вообще говоря, не определяются в отрицательные моменты времени, зато таким свойством обладают решения составляющие аттрактор соответствующей динамической системы.

Именно для этого уравнения при положительном c продолжать можно влево, а вправо - не всегда.

-- 10 окт 2017, 11:52 --

Вправо такое просто $f'(x)=f(x-c)$. То есть производная зависит от прошлых, а не будущих значений. В данном случае проще всего шагами длиной c шагать. Задать значения на [-1, 0] и рассматривать уравнение, как линейное неоднородное $f'(x)=g(x-c)$, где g - значения функции f на [-1, 0]. Получится $f(t)=\int_0^{-c} f(\tau-c)d\tau + C$, C выбирается так, чтобы не было разрыва функции, а разрывы производной вообще-то не исключаются. Потом опять шаг на c, используя вычисленное значение и так далее

(Оффтоп)

до полного удовлетворения

Ну и к более сложным уравнениям техника аналогичная.
Для линейных есть теория, сходная с таковой для обыкновенных линейных ДУ, только вместо полинома появляется квазиполином с экспонентами и с, вообще говоря, бесконечным количеством корней.