Как найти поле плотности скорости по полю плотности точки?

[user_ivan]

Прошу помощи в (видимо?) простой задаче по кинематике. Думаю над ней что-то уже долго, да что-то не доходит до меня.

Пусть у меня есть точка, летящая куда-нибудь со скоростью $\vec{v}$.

Из школьной математики мы помним, что $\vec{x}(t) = \vec{x}_0 + \int\limits_0^t\vec{v}(\tau)d\tau$.

Как это всё будет выглядеть с точки зрения плотности?

Тогда плотность будет $\rho(\vec{x},t) = \delta(\vec{x} - \vec{x}_0 - \int\limits_0^t\vec{v}(\tau)d\tau)$.

Кажется (это верно?), что поле плотности скоростей будет равно $\vec{\mu}(\vec{x},t) = \delta(\vec{x} - \vec{x}_0 - \int\limits_0^t\vec{v}(\tau)d\tau) \cdot \vec{v}(t)$

Мне хочется получить второе выражение из первого. Ведь зная $\rho(\vec{x},t)$ в любой точке, мы должны обладать полной информацией о системе.

Но я не понимаю, как это сделать. Ну, то есть, кажется, можно сделать методом топора и верёвки:

$\vec{\mu}(\vec{x},t) = \rho(\vec{x},t) \cdot \frac{d}{dt} \int\limits_{\math{R}^3}\vec{x}\rho(\vec{x},t) d \vec{x}$

Но что-то это, по-моему, что-то очень странное, и, кажется, не сработает ни для какой другой функции распределения. Даже для суммы двух дельт уже не сработает.

Как получать плотность скорости из поля плотности данного для любой точки в любой момент времени?

Прошу прощения, если непонятно написал.

[iifat]

user_ivan в сообщении #1251935 писал(а):

поле плотности скоростей

Стоило б начать с определения этого термина, не?

[user_ivan]

iifat в сообщении #1251937 писал(а):

user_ivan в сообщении #1251935 писал(а):

поле плотности скоростей

Стоило б начать с определения этого термина, не?

Да, извините.

Понятие "плотности скорости" -- это на самом деле "плотность тока", только обезразмеренная:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D1%82%D0%BE%D0%BA%D0%B0

Цитата:

Плотность тока — векторная физическая величина, имеющая смысл силы электрического тока, протекающего через элемент поверхности единичной площади

Ну, соответственно в моём случае "количество плотности вещества", перемещающегося через элемент поверхности дифференциально малой площади.

UPD1:

Мне тут сказали, что у меня вообще проблема с пониманием.

Скажем, возьмём крутящееся с любой скоростью вокруг начала координат кольцо, любого радиуса.

$\rho(\vec{x},t) = \rho(\vec{x}, 0)$

Но при этом плотность скорости совсем даже не нуль.

Где-то я не понимаю что-то.

[svv]

Я бы предложил сначала разобраться с непрерывным случаем.
Вот есть медуза, которая может как-то произвольно деформироваться (нужный порядок гладкости обеспечен).
Некоторая малая частичка медузы в момент $t_0$ имеет координаты $(x_0, y_0, z_0)$.
Эта же частичка имеет в момент времени $t$ координаты $(x, y, z)$.
Плотность в момент $t_0$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$ была $\rho_0$.
Чему будет равна плотность $\rho$ в момент $t$ в точке $(x, y, z)$ ?

(Подсказка. Не смотреть сразу!)

Якобиан

[user_ivan]

Извините, я всё равно не понимаю.

Пусть частичка переместилась из $(x_0, y_0, z_0)$ в $(x, y, z)$. Это, вообще говоря, не даёт нам достаточно информации для выяснения $\rho(x,y,z)$ в этой точке. Даже если предположить, что поле бесстоковое. За время $t-t_0$ в точку вообще вся плотность могла прибежать. А могла и убежать, оставив только эту одну частичку медузы, но поскольку эта частичка дифференциально малая, то плотность в ней будет 0.

[svv]

Конечно! Имеется в виду, что Вам известны функции $x(x_0, y_0, z_0), y(x_0, y_0, z_0), z(x_0, y_0, z_0)$.

[user_ivan]

Честно говоря, не понял вашей подсказки. Что вы имеете в виду под $x(x_0, y_0, z_0), y(x_0, y_0, z_0), x(x_0, y_0, z_0)$?

[svv]

см. л/с

[Munin]

user_ivan в сообщении #1251973 писал(а):

Да, извините.

Понятие "плотности скорости" -- это на самом деле "плотность тока", только обезразмеренная:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Плотность_тока

Ну вот не надо было обезразмеривать.

Когда вы рисуете $\rho,$ вы это худо-бедно можете сделать с помощью дельта-функции (хотя эта величина придумывалась для других целей). Когда вы рисуете $\vec{j},$ то тоже можете.

Но потом вы делаете что? Вы пытаетесь найти

$\vec{v}=\dfrac{\vec{j}}{\rho}.$

А везде в пространстве, кроме нужной точки, у вас и числитель и знаменатель равны нулю. И вы получаете $\dfrac{0}{0}.$

Ну и зачем это было делать?