2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Первообразная
Сообщение24.09.2017, 17:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
ewert в сообщении #1250370 писал(а):
Нельзя. Т.е. после "вынесения" получится тоже о-маленькое, но другое

Тогда я не понял. Как комплексный интеграл
$$
\int \limits_z^{z + \Delta z} o(1) \ \mathrm dz
$$
превращается в вещественное число $|\Delta z|$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразная
Сообщение24.09.2017, 17:23 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
StaticZero в сообщении #1250387 писал(а):
ewert в сообщении #1250370 писал(а):
Нельзя. Т.е. после "вынесения" получится тоже о-маленькое, но другое

Тогда я не понял. Как комплексный интеграл$$
\int \limits_z^{z + \Delta z} o(1) \ \mathrm dz
$$превращается в вещественное число $|\Delta z|$?

Я же сказал, что запись была не вполне аккуратной. Надо было примерно так: если $f(z)=f(z_0)+\varepsilon(z)$, где $\varepsilon(z)=o(1)$ при $z\to z_0$, то$$\left|\int\limits_{z_0}^{z_0+\Delta z}\varepsilon(z)\,dz\right|\leqslant\max\limits_{|z-z_0|\leqslant|\Delta z|}|\varepsilon(z)|\cdot|\Delta z|\quad\Rightarrow\quad\int\limits_{z_0}^{z_0+\Delta z}\varepsilon(z)\,dz=o(\Delta z).$$Но обычно никто к такому занудству не прибегает, подразумевая его в уме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразная
Сообщение24.09.2017, 17:30 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
ewert в сообщении #1250385 писал(а):
Во-первых, непрерывность производных тут не обязательна.

ну это надо ТС спросить, какие условия накладываются на $f$. Регулярность это и $C^\infty$ может означать.
ewert в сообщении #1250385 писал(а):
то называется теоремой не Стокса,

есть общая теорема Стокса, а как эти частные случаи из старых учебников называются мне как-то до лампочки
ewert в сообщении #1250385 писал(а):
И кстати: выбирая путь "в виде двух отрезков", к вещественной теореме Барроу задачу никак не сведёшь. Можно формально свести, взяв один отрезок, соединяющий точки, но и тут засада: производная получится всего лишь по Гато, а нужно по Фреше.

в том предположении, что сделал я, засад не будет

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразная
Сообщение24.09.2017, 17:35 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
pogulyat_vyshel в сообщении #1250394 писал(а):
в том предположении, что сделал я, засад не будет

Это в предположении, что Вы что-то сделали. Однако насчёт дифференцируемости по комплексной переменной Вы толком ничего так и не сказали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразная
Сообщение24.09.2017, 18:34 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
сказал

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразная
Сообщение24.09.2017, 22:31 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
pogulyat_vyshel в сообщении #1250410 писал(а):
сказал

Что?

Что дифференцируемость по комплексной переменной следует из дифференцируемости по паре вещественных. А это заведомо неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразная
Сообщение24.09.2017, 22:39 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
ewert в сообщении #1250462 писал(а):
Что?

Что дифференцируемость по комплексной переменной следует из дифференцируемости по паре вещественных.

ewert в сообщении #1250396 писал(а):
Однако насчёт дифференцируемости по комплексной переменной Вы толком ничего так и не сказали.

pogulyat_vyshel в сообщении #1250380 писал(а):
вещественно дифференцируемы и связаны условиями Коши-Римана

мнда, запущенный случай

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразная
Сообщение24.09.2017, 23:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
pogulyat_vyshel в сообщении #1250469 писал(а):
мнда, запущенный случай

Мда, запущенный. Есть разные определения регулярности/голоморфности/аналитичности. Условия Коши-Римана ни разу и ни к каким исходным определениям не относятся. Это всегда лишь следствия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразная
Сообщение22.10.2017, 14:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Теперь, вроде, понял. Пусть в $D$ зафиксирована точка $z$. Выберем в $D$ точку $z + \Delta z$, достаточно близкую к $z$, чтобы их можно было соединить прямолинейным отрезком, полностью лежащим в $D$. Так как $f$ регулярна, можно написать для точки $w$ в $D$
$$
f(w) = f(z) + A (w - z) + o(|w - z|),
$$
подстановка в интеграл даёт
$$\begin{align*}
\Phi(z + \Delta z) - \Phi(z) &= \int \limits_{z}^{z + \Delta z} f(w) \ \mathrm dw = \int \limits_{z}^{z + \Delta z} f(z) \ \mathrm dw + \int \limits_{z}^{z + \Delta z} A (w - z) \ \mathrm dw + \int \limits_{z}^{z + \Delta z} o(|w - z|) \ \mathrm dw = \\&= f(z) \Delta z + A \dfrac{\Delta z^2}{2} + I,
\end{align*}$$
где $|I| \leqslant |\Delta z| \max o(|w - z|)$, где максимум ищется на прямолинейном отрезке, соединяющем $z + \Delta z$ и $z$. Этого достаточно, чтобы написать $|I| = o(|\Delta z|)$, откуда очевидно и $I = o(|\Delta z|)$, как комплексное число, потому как
$$
\lim \limits_{\Delta z \to 0} \dfrac{I}{\Delta z} = \lim \limits_{\Delta z \to 0} \dfrac{|I| e^{i \varphi}}{|\Delta z| e^{i \psi}} = \lim \limits_{|\Delta z| \to 0} \left|\dfrac{I}{\Delta z}\right| e^{i (\varphi - \psi)} = 0 \quad \text{независимо от} \ \psi \ \text{и} \ \varphi.
$$

Окончательно имеем
$$
\Phi(z + \Delta z) - \Phi(z) = f(z) \Delta z + o(|\Delta z|),
$$
откуда следует всё, что нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразная
Сообщение22.10.2017, 17:58 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
StaticZero в сообщении #1257945 писал(а):
Так как $f$ регулярна, можно написать для точки $w$ в $D$
$$
f(w) = f(z) + A (w - z) + o(|w - z|),
$$

Т.к. $f$ непрерывна, достаточно написать $f(w)=f(z)+o(1)$; тогда $$\Phi(z + \Delta z) - \Phi(z) &= \int \limits_{z}^{z+\Delta z} f(w)\,dw = \int \limits_{z}^{z+\Delta z} f(z)\,dw + \int \limits_{z}^{z+\Delta z}o(1)\,dw = f(z)\,\Delta z+o(|\Delta z|)$$ и всё. Регулярность же нужна вовсе не для оценок, а лишь для того, чтобы интеграл с переменным верхним пределом вообще имел смысл, т.е. не зависел бы от выбора пути (и, в частности, чтобы последний маленький участок пути можно было заменить на прямолинейный отрезок).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group