2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Возможность делимости определённых выражений.
Сообщение25.09.2017, 13:15 


21/05/16
4292
Аделаида
50 не делится на 4.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможность делимости определённых выражений.
Сообщение25.09.2017, 13:17 


03/10/06
826
kotenok gav в сообщении #1250664 писал(а):
50 не делится на 4.
Этого и не надо, либо на два, либо на четыре, и всё. А произведение чисел плюс один только на четыре.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможность делимости определённых выражений.
Сообщение25.09.2017, 13:24 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
yk2ru в сообщении #1250663 писал(а):
Cash, считаете через программу?


Вообще-то серию, по заветам Sonic86

yk2ru в сообщении #1250663 писал(а):
Для трёх переменных (следующая делимость) может она посчитать, или строго для двух она?

Можно и программой.
Для трех, например, $5, 11, 17$

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможность делимости определённых выражений.
Сообщение25.09.2017, 13:29 


03/10/06
826
Cash в сообщении #1250666 писал(а):
yk2ru в сообщении #1250663 писал(а):
Cash, считаете через программу?


Вообще-то серию, по заветам Sonic86

А если задать условие, чтобы следующие числа делились оба на одну степень двойки (на два или на четыре), возможны ли такие числа в серии? А что там с произведением плюс один не важно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможность делимости определённых выражений.
Сообщение25.09.2017, 13:37 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
В моей серии невозможны, но комп выдает, например: $89, 241$

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможность делимости определённых выражений.
Сообщение25.09.2017, 19:42 


03/10/06
826
Для трёх переменных конечно же существуют решения. Наименьшее: $3$, $3$, $3$. Но при определённых условиях запрограммированная процедура пока не выдаёт ничего. В процедуре три цикла до 8-значного числа 11111111 с шагом 1, нечётные числа получаем удвоением и прибавлением единицы, и задаём чтобы второе число не было меньше первого и третье второго.
Условия такие: числа не должны делиться на восемь при плюс/минус единица, то есть должны быть вида $8z+3$ или $8z+5$ .
И дополнительно произведение $abc$ должно быть вида $32z+11$. Например ${3,5,5}$ подходят под условия, но делимости нет. Возможно ли при таких условиях решение, пока не ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможность делимости определённых выражений.
Сообщение25.09.2017, 19:44 


26/08/11
2057
yk2ru в сообщении #1250139 писал(а):
А что можно сказать про возможность следующих выражений?
$$(a+1)(b+1)|(ab+1)^2$$
$a,b$ два последователнле члена ряда:

$x_1=1,x_2=2k+3,x_n=2+k(x_{n-1}+1)-x_{n-2}$

$\forall k \in \mathbb{N}$

Решается vс помощью vieta jumping

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможность делимости определённых выражений.
Сообщение30.09.2017, 15:33 


03/10/06
826
Shadow в сообщении #1250743 писал(а):
$$(a+1)(b+1)|(ab+1)^2$$$a,b$ два последователнле члена ряда:

$x_1=1,x_2=2k+3,x_n=2+k(x_{n-1}+1)-x_{n-2}$

$\forall k \in \mathbb{N}$

Решается vс помощью vieta jumping
Не соображу, как этот метод применять. Пусть $k(a+1)(b+1)=(ab+1)^2$. Заменив $a$ на $x$ получим из формул Виета $x_2=\frac{k(b+1)-2b}{b^2}-x_1=\frac{1-k(b+1)}{{x_1}b^2}$, если не ошибся. Что делать дальше для получения ряда? Подходят вроде $b=1$ и $x_1=-1$ и значит $a=2k-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможность делимости определённых выражений.
Сообщение30.09.2017, 18:11 


26/08/11
2057
Я сделал так (тетрадь у меня сейчас нет, восстанавливаю по памяти). Поскольку ТС интересовали только нечетные $a,b$ (и даже простые, но здесь помочь не могу)

$a+1=2x,\;b+1=2y$

После некоторых преобразований получилось

$xy\mid (x+y-1)^2$

и сведя к квадратному уравнению относительно $x$

$x^2-(2+ky)x+(y-1)^2=0$
Ищем только натуральные решения. При некотором зафиксираванном $k$, если есть решение $x_1\ge y$, то по формулам Виета $x_2<y$, причем $x_2 \ni \mathbb{N}$, елси $y>1$

$x_1x_2=(y-1)^2, x_1\ge y\Rightarrow x_2<y$ Из другой формулы Виета следует, что $x_2$ положительное. Или, для любого зафиксированного $k$ наименшее решение будет $y=1$

$x_1=0$ игнорируем, $x_2=2+k$.

А дальше по лестнице вверх, из $x_1+x_2=2+ky$ получаем возрастающую последовательность при $k>1$

Или приняв $x_1<y<x_2$, получается $x_{n-2}+x_n=2+kx_{n-1}$

Делаем обратную замену из $x,y$ в $a,b$

Один из вариантов, могут быть и другие, напр., через уравнения Пелля, судя по решениям.

-- 30.09.2017, 17:22 --

Shadow в сообщении #1252035 писал(а):
Из другой формулы Виета следует, что $x_2$ положительное.

Не из другой, а из обеих - в совкупности. Из первой следует, что оно целое, а из второй - что оно положительное и меньше $y$

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможность делимости определённых выражений.
Сообщение30.09.2017, 19:33 


03/10/06
826
Никто не пытался для трёх переменных формулы Виета использовать, развить этот метод в эту сторону?

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможность делимости определённых выражений.
Сообщение01.10.2017, 10:34 


26/08/11
2057
yk2ru в сообщении #1252054 писал(а):
Никто не пытался для трёх переменных формулы Виета использовать, развить этот метод в эту сторону?
Для трех переменных используется, напр. доказательство, что уравнение $x^2+y^2+z^2=kxyz$ не имеет решений в натуральных чисел при $k>3$
Но для уравнений второй степени. Для уравнений выше второй не работает. По крайней мере я не видел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможность делимости определённых выражений.
Сообщение02.10.2017, 00:41 


03/10/06
826
Замена переменных упрощала решение. А что если для случая
$$(a+1)(b+1)(c+1)|(abc+1)^3$$
сделать так
$$x=abc, y=ab+bc+cd, z=a+b+c$$
И получим
$$(x+y+z+1)|(x+1)^3$$
Такие замены - нормально ли? Если да, то с последним уравнением что можно сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможность делимости определённых выражений.
Сообщение02.10.2017, 09:12 


26/08/11
2057
С последним уравнением все можно сделать - можно находит бесконечно много троек $(x,y,z)$ удовл. условию.

А вот потом будут проблемы - полином $t^3-zt^2+yt-x$ должен иметь три целых корня. Вот в чем беда.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 43 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group