2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Признак сходимости Коши для случайных величин
Сообщение23.09.2017, 10:59 


27/08/16
9426
А. А. Боровков, "Теория вероятностей", М.: книжный дом ЛИБРОКОМ, 2017.
Теорема 6.1.3 (признак сходимости Коши): $\xi_n\to\xi$ в каком-нибудь смысле $(\underset{p}{\longrightarrow},\, \underset{\text{п.н.}}{\longrightarrow},\, \underset{(r)}{\longrightarrow})$ тогда и только тогда, когда $\xi_n$ фундаментальна в соответствующем смысле.

В учебнике сначала доказывается сходимость почти наверное, при этом выбирается достаточно быстро сходящаяся для каждого $\omega$ фундаментальная подпоследовательность $\xi_k$, и потом написаны такие слова: "... означающее, что последовательность чисел $\xi_k$ фундаментальна и что, следовательно, существует значение $\xi(\omega)$ такое, что $\left|\xi_k'(\omega)-\xi(\omega)\right|\to 0$ при $k\to 0$. Это означает, в свою очередь, что $\xi_k\underset{\text{п.н.}}{\longrightarrow}\xi$".

Вопрос: откуда следует, что эта предельная функция является случайной величиной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Признак сходимости Коши для случайных величин
Сообщение23.09.2017, 11:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва

(Оффтоп)

Нет такой сходимости "почти наверняка", вы бы еще рассмотрели сходимость "зуб даю, сходится". :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Признак сходимости Коши для случайных величин
Сообщение23.09.2017, 11:07 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Brukvalub в сообщении #1249943 писал(а):

(Оффтоп)

Нет такой сходимости "почти наверняка", вы бы еще рассмотрели сходимость "зуб даю, сходится". :D

(Оффтоп)

Мамой клянусь! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Признак сходимости Коши для случайных величин
Сообщение23.09.2017, 11:09 


27/08/16
9426

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1249943 писал(а):
Нет такой сходимости "почти наверняка", вы бы еще рассмотрели сходимость "зуб даю, сходится". :D
Спасибо, поправил.
"Зуб даю, сходится" - это когда всюду. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Признак сходимости Коши для случайных величин
Сообщение23.09.2017, 13:03 


20/09/05
85
Поточечный предел последовательности измеримых функций измерим.
Следствие: Предел почти всюду тоже. (Изменение функции на множестве меры ноль на ее измеримость не влияет, см. опр.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Признак сходимости Коши для случайных величин
Сообщение23.09.2017, 13:45 


27/08/16
9426
NDP в сообщении #1249975 писал(а):
Поточечный предел последовательности измеримых функций измерим.
Поточечный предел последовательности измеримых функций измерим на множестве, на котором он существует.

NDP в сообщении #1249975 писал(а):
Изменение функции на множестве меры ноль на ее измеримость не влияет, см. опр.
А на подмножестве множества меры нуль -- влияет.

Спасибо. Есть над чем подумать дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Признак сходимости Коши для случайных величин
Сообщение23.09.2017, 14:26 


20/09/05
85
realeugene в сообщении #1249993 писал(а):
Спасибо. Есть над чем подумать дальше.

Можно и подумать, конечно. Но вообще это достаточно тривиальный факт. К сожалению, у меня проблемы с набором текста. Возьмите Колмогоров Фомин и прочитайте "Измеримые функции".
realeugene в сообщении #1249993 писал(а):
А на подмножестве множества меры нуль -- влияет.

Не влияет. Это совершенно очевидно было бы, если записать определения и сравнить. Множество нулевой меры измеримо, хоть добавляй его, хоть вычитай. Доопределить функцию на нем можно любым образом и на измеримость функции это не повлияет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Признак сходимости Коши для случайных величин
Сообщение23.09.2017, 14:30 


27/08/16
9426
В общем, остальное просто. Так как множество, на котором предел существует, измеримо, множество $N$, на котором предел не существует, тоже измеримо и имеет меру нуль по доказательству теоремы. Тогда, доопределив $\xi(\omega)$ на $N$ нулём (или любой другой константой) получаем измеримую $\xi(\omega)$.

-- 23.09.2017, 14:32 --

NDP в сообщении #1250008 писал(а):
Множество нулевой меры измеримо, хоть добавляй его, хоть вычитай.
А вот произвольное подмножество измеримого множества меры нуль само обязательно измеримо только для полной меры. Мера Бореля, например, полной не является.

 Профиль  
                  
 
 Re: Признак сходимости Коши для случайных величин
Сообщение23.09.2017, 14:43 


20/09/05
85
realeugene в сообщении #1250011 писал(а):
А вот произвольное подмножество измеримого множества меры нуль само обязательно измеримо только для полной меры.

Это да, но я стараюсь не забывать, что у нас вероятностная мера. И что сходимость не просто п.в., а всюду, кроме, быть может, точек $A$ - которое событие.

... в общем, вы уже все сами написали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Признак сходимости Коши для случайных величин
Сообщение23.09.2017, 14:59 


27/08/16
9426
NDP в сообщении #1250014 писал(а):
Это да, но я стараюсь не забывать, что у нас вероятностная мера.
Вот именно. У вероятностной меры нет аксиомы полноты. Я как раз пытаюсь разобраться, к каким последствиям это приводит.

А приводит это к тому, что для вероятностей измеримость предельных функций в Фату-Лебеге постулируется в условиях теорем, а для полных мер она доказуема.

-- 23.09.2017, 15:36 --

Всем спасибо. Вопрос исчерпан.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group