2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Вопрос о получении любого числа
Сообщение19.09.2017, 23:16 
Заслуженный участник


08/04/08
8373
Доказать плотность всюду последовательности $2^n \log_23 \mod 1$ в $[0;1)$ у меня пока не получается, равномерность ее распределения - тоже.

Давайте тогда проведем все выкладки для исходной задачи.
Отображения $x\to \frac{x}{2}$ и $x\to \frac{x+1}{2}$ собираем в $f:x\to \lfloor\frac{x+1}{2}\rfloor$. Итерации его $f^{(k)}(x)=1+\lfloor\frac{x-1}{2^k}\rfloor$. При $2^k\geqslant x$, т.е. при $K=\lceil\log_2x\rceil$ получаем $f^{(K)}(x)=1$. Рассмотрим значения $f^{(K-r)}(x), r\geqslant 1$ - это будут числа из $[1+2^r; 2^{r+1}]$. Гипотеза та же: если квадрировать тройку достаточно долго, а потом брать $f^{(K-r)}(3^{2^m})$ то в получающейся последовательности будут всевозможные числа из $[2^r; 2^{r+1})$ (а значит вообще все натуральные числа, поскольку $r$ произвольное).
$f^{(K-r)}(3^{2^m})=1+\lfloor\frac{3^{2^m}-1}{2^{\lceil\log_23^{2^m}\rceil-r}}\rfloor
=1+\lfloor2^r\frac{3^{2^m}-1}{2^{\lceil\log_23^{2^m}\rceil}}\rfloor$
Поскольку $\log_23^{2^m}$ нецелое для $m>0$, то $\lceil\log_23^{2^m}\rceil=1+[\log_23^{2^m}]$, значит
$f^{(K-r)}(3^{2^m})=1+\lfloor2^{r-1}{2^{\{2^m\log_23\}}\rfloor$
И снова: если $2^m \log_23 \mod 1$ всюду плотно в $[0;1)$, то значит $f^{(K-r)}(3^{2^m})$ пробегает все натуральные числа из $[1+2^r;2^{r+1}]$, а значит и можно с помощью указанных операцию построить все натуральные числа.
Т.е. здесь тоже все сводится к доказательству плотности последовательности $2^n \log_23 \mod 1$ в $[0;1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о получении любого числа
Сообщение20.09.2017, 00:02 


20/08/14
3277
Россия, Москва
Sonic86 в сообщении #1249064 писал(а):
Доказать плотность всюду последовательности $2^n \log_23 \mod 1$ в $[0;1)$ у меня пока не получается,
Поправьте меня если не прав, но это вроде и невозможно. Предварительно две леммы. 1. Число $\log_23$ - иррациональное. 2. Остаток справа после отрезания конечного числа левых цифр от любого иррационального числа является числом иррациональным.
Операция $y \bmod 1$ - отрезает сколько-то левых цифр, оставляя справа все остальные, и для иррационального $y=2^n \cdot x$ остаток будет тоже иррациональным. Т.е. остаются выколоты все рациональные числа. Вах.
В частности, ноль ну никак не получить, ведь тогда число $y=2^n\log_23$ должно быть целым, значит число $\log_23=y/2^n$ рациональным, но оно же иррационально по условию. Аналогично не получить и числа вида $1/2^n$.
Что однако не является доказательством невозможности получения всех натуральных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о получении любого числа
Сообщение20.09.2017, 00:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21068
Уфа
Как это мешает всюду плотности? Если вдруг среди двоичных цифр $\log_23$ попадается любая конечная последовательность, это как раз наоборот легко покажет её. Вот только если.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о получении любого числа
Сообщение20.09.2017, 01:03 


20/08/14
3277
Россия, Москва
Выскажу такую гипотезу: любое число $x$ можно получить как $x=f(y^2), y \ne x, y<3x$. Т.е. из квадратов чисел не более чем $3x$. Как доказывать пока не знаю. И как именно использовать для доказательства исходного предположения тоже не знаю.
Из примеров: $57^2\to26$, $91^2\to33$, $363^2\to129$, $725^2\to257$, $1449^2\to513$ (похожи на $2^n+1$). Для чисел до миллиона коэффициент не превышает $2{,}8284271247462$, похоже это предел.

arseniiv в сообщении #1249081 писал(а):
Как это мешает всюду плотности?
Хм, я что, спутал плотность и непрерывность? Тогда извинтиляюсь. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о получении любого числа
Сообщение21.09.2017, 21:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4378
Sonic86 в сообщении #1249064 писал(а):
Т.е. здесь тоже все сводится к доказательству плотности последовательности $2^n \log_23 \mod 1$ в $[0;1)$.
Правильно ли я понимаю, что плотность последовательности $10^n \log_23 \mod 1$ в $[0;1)$ равносильна тому, что каждая конечная последовательность десятичных цифр встречается в числе $\log_23$ бесконечное число раз? Если да, то вряд ли это что-то простое. Сомнительно также, что с последовательностью $2^n \log_23 \mod 1$ дела обстоят сколько-то проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о получении любого числа
Сообщение21.09.2017, 21:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1403
Москва
arseniiv в сообщении #1249081 писал(а):
Если вдруг среди двоичных цифр $\log_23$ попадается любая конечная последовательность, это как раз наоборот легко покажет её.
Этого разве достаточно? Если скажем на всех позициях с номерами $2^n + 1$ в двоичной записи $\log_23$ стоят нули, то вся последовательность $2^n \log_23 \mod 1$ лежит в $[0; 0.5)$ и не всюду плотна в $[0; 1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о получении любого числа
Сообщение21.09.2017, 21:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21068
Уфа
Я действительно не очень думал над тем аргументом, но это, кажется, тоже не опровержение, если прочитал его правильно. Если среди цифр $\log_23$ попадается последовательность 11, последовательность $2^n \log_23 \bmod 1$ содержит $0{,}11\ldots_2 \geqslant 0{,}75$ и т. д., и если в числе попадается любая последовательность цифр, то попадаются и последовательности, соответствующие приближениям любого вещественного числа из $[0;1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о получении любого числа
Сообщение21.09.2017, 21:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1403
Москва
Да, соврамши. Умножение на $2^n$ - это перенос точки на $n$ цифр вправо (а я почему-то подумал что на $2^n$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о получении любого числа
Сообщение21.09.2017, 22:36 
Заслуженный участник


08/04/08
8373
grizzly в сообщении #1249597 писал(а):
Правильно ли я понимаю, что плотность последовательности $10^n \log_23 \mod 1$ в $[0;1)$ равносильна тому, что каждая конечная последовательность десятичных цифр встречается в числе $\log_23$ бесконечное число раз?
Ну да. Раз она везде плотна, то д.б. число, достаточно близкое, например, к любому числу виду $(A+\frac{1}{4})\cdot 10^{-k}, 0\leqslant A <10^k, A\in\mathbb{Z}$. Его первые $k$ цифр должны давать число $A$.
Т.е. вопрос сводится к гипотеза о нормальности $\log_23$ по основанию $2$? Фигово... И тогда понятно, почему в книге сей вопрос молчаливо обходится. А начиналось все так позитивно...
(изначально я смотрел на это как возможность получить любую конечную комбинацию цифр в $3^{2^m}$ в двоичной системе счисления, это казалось правдоподобным...)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о получении любого числа
Сообщение21.09.2017, 22:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1403
Москва
Sonic86 в сообщении #1249633 писал(а):
Т.е. вопрос сводится к гипотеза о нормальности $\log_23$ по основанию $2$?
Кажется что слабее, чем нормальность - нам надо чтобы каждая последовательность встречалась, без ограничений на частоту.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о получении любого числа
Сообщение21.09.2017, 22:52 
Заслуженный участник


08/04/08
8373
mihaild в сообщении #1249637 писал(а):
Кажется что слабее, чем нормальность - нам надо чтобы каждая последовательность встречалась, без ограничений на частоту.
А, это обнадеживает.
Если брать требование одинаковости асимптотической частоты, то это как раз и получится р.р. $\mod 1$. (Равномерное распределение вообще вылезло потому, что его иногда проще доказать.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о получении любого числа
Сообщение21.09.2017, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4378
Sonic86 в сообщении #1249638 писал(а):
А, это обнадеживает.
Разве? Может я что-то пропустил и уже известно, что в десятичной записи числа $\log _23$ содержится бесконечно много единиц, например?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о получении любого числа
Сообщение21.09.2017, 23:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21068
Уфа
Для десятичной, может, и нет, но для двоичной это должно быть обязательно: если единиц или нулей конечное число, с какого-то разряда начинаются повторы, и число рационально. Хотя толку…

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о получении любого числа
Сообщение21.09.2017, 23:11 
Заслуженный участник


08/04/08
8373
grizzly в сообщении #1249640 писал(а):
Sonic86 в сообщении #1249638 писал(а):
А, это обнадеживает.
Разве? Может я что-то пропустил и уже известно, что в десятичной записи числа $\log _23$ содержится бесконечно много единиц, например?
Я не в курсе :-) Это тоже известная трудная проблема? Просто с нормальностью числа я бы точно бодаться не стал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о получении любого числа
Сообщение21.09.2017, 23:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4378
Попалась на глаза похожа задача. Она раньше числилась в списке нерешённых и не так давно она была решена (для любой пары взаимно простых чисел). Там тоже требуется доказать, что любое натуральное число встретится в последовательности и только один раз. Единственность там доказывается попроще, а вот встречаемость...

Подозреваю, что наша ситуация намного хуже примерно такая же (это upd).

-- 21.09.2017, 23:21 --

Sonic86 в сообщении #1249643 писал(а):
Это тоже известная трудная проблема?
Думаю, да. Все проблемы такого рода пока весьма сложны.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group