2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Об аксиоме выделения
Сообщение14.09.2017, 14:05 


19/03/15
291
Поясните пожалуйста, почему аксиома выделения имеет такое название? И в догонку. Я правильно понимаю, что свойство $P$ в ней для самой аксиоматики множеств является независимо внешним и может формулироваться в любой логике? Я имел в виду, в первую очередь, логику 0-го, 1-го и, вообще, любого порядка. По крайней мере, если тупо взять всю ZFC систему, то эта буква $P$ в ней совершенно инородна и непосредственно вокруг самой системы аксиом ZFC я не встречал внятного растолковывания там, что есть $P$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об аксиоме выделения
Сообщение14.09.2017, 14:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
maximav в сообщении #1247658 писал(а):
почему аксиома выделения имеет такое название?
Потому что с её помощью из заданного множества выделяется некоторое подмножество (точнее, аксиома утверждает, что совокупность всех элементов заданного множества, выделяемых условием $P$, является множеством).

maximav в сообщении #1247658 писал(а):
Я правильно понимаю, что свойство $P$ в ней для самой аксиоматики множеств является независимо внешним и может формулироваться в любой логике?
:shock: Ни в коем случае. Условие $P$ должно быть сформулировано в языке ZFC. Если это условие не формализуется в ZFC, то аксиома ничего не обещает, и выделенное семейство не обязано быть множеством.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об аксиоме выделения
Сообщение14.09.2017, 15:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
ZFC это теория первого порядка. $P$ в аксиоме выделения это любая формула языка ZFC.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об аксиоме выделения
Сообщение14.09.2017, 15:34 


19/03/15
291
Someone в сообщении #1247668 писал(а):
Потому что с её помощью из заданного множества выделяется некоторое подмножество
С "выделением" все-таки не ясно. С каким (уже легальным) множеством имеет дело эта аксиома, из которого она потом делает выделение? Подробнее. Мои догадки здесь такие (неформально). Начинаем работать с некоторым множеством. Это высказывание из мета-языка. Потом создаем формальную последовательность логических высказываний и называем ее буквой $P(x)$, где $x$ свободная переменная (а где здесь исходное множество?). Окончательно, объявляем, что совмещение двух предыдущих пунктов множеством. Рассуждение на пальцах корректно? Дополнительно. Разве все аксиомы из ZFC не есть правила по которым мы объявляем некий набор (слово из метаязыка) или класс множеством? То есть, грубо, правила - это логика, ну а множества - это доп надстройка $\in$ со своими доп правилами... ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Об аксиоме выделения
Сообщение14.09.2017, 15:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Схема аксиома выделения: $\forall w \forall u \exists z\, \forall x (x \in z \leftrightarrow x \in u \land P(x, w))$. $u$ - это множество, а $z$ - выделяемое подмножество всех элементов $u$, удовлетворяющих $P$. Аксиома утверждает, что $z$ существует, и оно обычно обозначается $\{ x \in u \mid P(x, w)\}$. $w$ - это какие-то параметры, например, параметры $f$ и $c$ в $\{x \in \mathbb R^n \mid f(x) = c\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Об аксиоме выделения
Сообщение14.09.2017, 15:53 


19/03/15
291
Ок, стало яснее. Пока подумаю ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Об аксиоме выделения
Сообщение14.09.2017, 16:37 
Заслуженный участник


31/12/15
922
Аксиома выделения утверждает: если уже есть какое-то множество $u$ (оно не обязано быть заданным какой-бы то ни было формулой) и есть формула языка ZF, мы можем взять кусочек $u$, состоящий из тех элементов, для которых верна эта формула.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об аксиоме выделения
Сообщение14.09.2017, 16:46 


19/03/15
291
Я понемногу просекаю. Ключевой символ в последнем посте Xaositect - это $\exists z$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group