Сохранение энергии.Тело бросают на весы. ФЛФ задача 14.14.

[Uchitel'_istorii]

Вопрос по Фейнмановским лекциям по физике, задача 14.14 к вып. 1 (djvu) (стр. 46 png, стр. 199png),

Цитата:

14.14. Чашка пружинных весов весит $0,025 \text{кГ}$, а упругость пружины составляет $15,3 \text{ньютон/м}$. Грузик массы $m= 50 \text{г}$ падает на чашку с высоты $h=9,0 \text{см}$. Соударение абсолютно неупругое. На какое максимальное расстояние опустится грузик? Отсчет ведется от точки, из которой он начал падать.

Исходя из того, что нагруженная пружина в равновесии подчиняется закону Гука относительно точки равновесия точно так же, как и ненагруженная, я решаю задачу так:
$m_1$ - масса чаши весов, $ 0,025 \text{ kg}$;
$m$ - масса падающего грузика, $ 0,050 \text{ kg} = 2m_1$;
$v$ - скорость грузика в момент касания чаши;
$v_1$ - скорость тела $m_1 + m = 3m_1$ сразу после неупругого столкновения;
$x$ - смещение верхней точки чаши относительно точки равновесия до удара;
$h $ - начальная высота грузика относительно верхней точки чаши, $ 0,09 \text{ m}$;
Ось $x$ направлена вверх, верхняя точка чаши до удара принята за ноль.

$v = \sqrt{2gh}$
$v_1= 2v/3 = \tfrac{2}{3}\sqrt{2gh}$
$0.5kx^2 = (3m_1) gx + 0.5 (3m_1) {v_1}^2
$x^2 - \tfrac{6m_1g}{k}x - \tfrac{8m_1gh}{3k}=0

Подставляя численные значения и решая уравнение, я получаю $x = 0,1264 \text{ m, } x+h = 0,2164 \text{ m}$. Численное моделирование дает похожий ответ: png, xls. В английской книге в ответе также $22 \text{ cm}$.

Но в Решениях преподаватели как-то учитывают начальную энергию пружины, и получают меньшее значение. И вроде всё правильно: суммарная энергия пружины за вычетом начальной энергии.

Вопрос: Почему решение численными методами не совпадает с ответом через сохранение энергии (решение из задачника и 2 сообщ. ниже). Исходя из разных ответов , получается, что нагруженная пружина ведет себя не как ненагруженная (амплитуда другая). Но уравнения движения не зависят от того, нагружена пружина или нет.

[fred1996]

Uchitel'_istorii
Ну так в третьем уравнении у вас справа как раз и не хватает начальной потенциальной энергии сжатой (чашей) пружины.
То есть закон сохранения энергии в вашем случае дает:
Конечная потенциальная энергия сжатой пружины равна начальной потенциальной энергии сжатой пружины, плюс изменение гравитационной потенциальной энергии, плюс кинетическая энергия.

[se-sss]

В решениях, изданных у нас встречаются грубые ошибки.
Напишите сами уравнение, как должно быть, если за ноль потенциальноё энергии пружины взять нерастянутое состояние.
Добавки должны сократиться.
(Кажется я не прав. Не надо было лезть отвечать между делом, не написав уравнения сам.)

И лучше бы чётко написать, что было, что стало. Мне кажется, там местами кое-что перепутано.

(Оффтоп)

Спасибо за ссылку на официальные ответы. Не знал , что существуют в природе.

[Uchitel'_istorii]

Цитата:

И лучше бы чётко написать, что было, что стало.

Пусть имеем ненагруженную пружину. На нее очень аккуратно кладут чашу, калебаний нет, $x_1 = m_1g/k$ - деформация пружины чашей. За ноль оси принимаю верхнюю точку нерастянутой пружины. Записываю уравнение сохранения:
$0,5k(x+x_1)^2 = m_1g(x+x_1)+2m_1g(x+x_1+h)-\tfrac{2}{3}m_1gh$
($x$ - не координата, а смещение относительно точки равновесия нагруженной пружины.Последний член - перешедшая в тепло энергия при неупругом столкновении.)

Решая это уравнение я получаю $x= 0,094 \text{ m} $.

UPD. В процессе появился еще один вопрос. Энергия нагруженной пружины в состоянии равновесия равна почему-то половине потерянной телом энергии гравитации. Почему?

UPD2. Похоже , потенциальную энергию гравитации вообще нельзя использовать, т.к. \textstyle \DeltaT \Delta T= \int \mathbf{F}d\mathbf{s }= 0.5kx^2. И , как говорится в лекции 13, энергия пружины отсчитывается от точки равновесия пружины. Для массы (груз+ чаша) точка равновесия находится на расстоянии $3m_1g/k$ от верха ненагруженной пружины, для чаши -- $m_1g/k$. Разница = $2m_1g/k= 0.032 \text{m}$.
$0.5k(\tfrac{2m_1 g}{k})^2 + 0.5(3m_1){v_1} ^2= 0.5kx_\text{max}$
$x_\text{max} = 0.07 \text{m}$

$0.07 \text{m} +0.032 \text{m} + 0.09 \text{m} = 0.192 \text{m}$

UPD 3. Тогда и численное моделирование неправильно, т.к. я отсчитывал смещение от положения равновесия чаши, а надо от верха нерастянутой пружины (?). Теперь я уже не уверен , надо ли добавлять силу $mg$ в уравнение движения. В лекции 9 Фейнман говорит, что если считать от положения равновесия, то остается только сила упругости.
UPD4. Только что переделал численное решение с $x_0=+0.032$ ($x=0$ в точке равновесия (груз + чаша)) без силы тяжести: получил третий вариант ответа pngxls. Короче, ничего не получается. И чем дальше, тем хуже.

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
Причина переноса:
1. Не сформулирован предмет обсуждения.

(Подробно)

Forum Administration в сообщении #27358 писал(а):

Начальные сообщения любой темы должны четко и внятно формулировать предмет или вопрос, который предполагается обсудить. В противном случае тема будет закрыта или перемещена в карантин до уточнения предмета.

2. Материалы по ссылке http://foto.meta.ua/allsize/9463346/orig/ недоступны.

Оформите тему в соответствии с правилами форума и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено. Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: вернул.

[se-sss]

Я сам сделал симуляцию. (Код скрыт в оффтопе.)

(Оффтоп)

#include <iostream>
#include <cmath>
int main()
{
    const double m = 0.05;// груз
    const double m1 = 0.025;// чашка
    const double g = 9.81;
    const double h = 9.0e-2;// высота над начальным положением чашки

    const double k = 15.3; //упругость пружины

    const double v = sqrt(2 * g * h);
    const double v1 = m * v / (m + m1);
    const double L0  = m1 * g / k;
    std::cout <<"L0 "<< L0 <<std::endl;
    const double h0 = m * g / k; //просто обозначение, как в ответах
    std::cout <<"h0 "<< h0 <<std::endl;
    const double h1 = h0 + sqrt(h0 * h0 + 2 * m * h * h0 / (m + m1));
    const double answer = h + h1;
    std::cout <<"Answer "<< answer <<std::endl;

    double z = h;
    double vz  = v1;
    double t  = 0;
    const double dt = 0.001;

    while(true)
    {
       double s = L0 + z - h; //текущее сжатие пружины
       z +=  vz * dt;
       double az =  g - k * s / (m + m1); // ускорение
       vz += az * dt ;

       t += dt;

      if(vz < 0) break;
    }

   std::cout << "Simulation z = "<< z <<std::endl;
}

Результат:

Цитата:

Answer 0.191879
Simulation z = 0.192909

В английском варианте ответ неверен.
А у вас в таблице с первого момента неправильное ускорение.
В новой - похоже на правильное $\frac{2}{3}g$.

-- 13.09.2017, 11:57 --

Uchitel'_istorii в сообщении #1247175 писал(а):

Фейнман говорит, что если считать от положения равновесия, то остается только сила упругости

Положение равновесия перестало быть таковым после удара.

[realeugene]

Uchitel'_istorii в сообщении #1247160 писал(а):

$0.5kx^2 = (3m_1) gx + 0.5 (3m_1) {v_1}^2$

Должно быть $0.5kx^2 = mgx + 0.5 (3m_1) {v_1}^2$. Изменение потенциальной энергии чаши учитывать не нужно, если $x$ отсчитывать от положения равновесия пружины с чашей на весах. Под весом чаши первоначально пружина деформировалась на длину $\Delta=m_1g/k$. Тогда при дальнейшем сжатии от этого равновесия на расстояние $x$ потенциальная энергия пружины в сумме с потенциальной энергией чаши равна $P=k(x+\Delta)^2/2-m_1gx=kx^2/2+k\Delta^2/2$. То есть потенциальная энергий пружины в сумме с потенциальной энергией чаши равна потенциальной энергии пружины без чаши, если изменение длины пружины отсчитывать от положения равновесия, плюс константная добавка, которая не влияет на разности потенциальной энергии, и которую, поэтому, можно выкинуть, изменив нуль отсчёта потенциальной энергии.

[Uchitel'_istorii]

При моделировании при отсчете от верха ненагруженной пружины уравнение движения будет:
$-0.5kx^2 - mg = m\tfrac{d^2}{dt^2}x$.
При отсчете от точки равновесия нагруженной пружины уравнение движения такое:
$-0.5kx^2 = m\tfrac{d^2}{dt^2}x$.
Правильно?

realeugene в сообщении #1247433 писал(а):

потенциальная энергия пружины в сумме с потенциальной энергией чаши равна $P=k(x+\Delta)^2/2-m_1gx=kx^2/2+k\Delta^2/2$

Получается потенциальную энергию тела на пружине нужно учитывать, но отсчитывать от положения равновесия. А энергию пружины отсчитывать не от равновесия, а от верха ненагруженной пружины. Слишком сложно.

[realeugene]

Uchitel'_istorii в сообщении #1247539 писал(а):

Правильно?

Если положение равновесия учитывает вес этого тела - то да.

Uchitel'_istorii в сообщении #1247539 писал(а):

Получается потенциальную энергию тела на пружине нужно учитывать, но отсчитывать от положения равновесия. А энергию пружины отсчитывать не от равновесия, а от верха ненагруженной пружины. Слишком сложно.

Всё тривиально. Если у вас есть какая-то находящаяся в равновесии механическая система, силы в которой дифференцируемы по перемещениям, можно попытаться посчитать, как эта система в целом будет реагировать на небольшое смещение из состояния равновесия. Ввиду того, что силы дифференцируемы, их можно линеаризовать. И окажется, что результирующая сила реакции на небольшое смещение из состояния равновесия, при небольших смещениях, линейно зависит от смещения, и в состоянии равновесия она, естественно, равна нулю. То есть сложная механическая система ведёт себя как обычная пружина с некоторой жесткостью, которая в положении равновесия не растянута. Потенциальная энергия этой пружины при сжатии есть суммарная потенциальная энергия всех частей сложного механизма при таком перемещении (ввиду просто закона сохранения энергии). То есть для расчётов потенциальной энергии упругости вы все компоненты механизма, участвовавшие в формировании этого положения равновесия и жесткости для вашего смещения, заменяете одной пружиной. При этом заменённые части, разумеется, в потенциальной энергии повторно учитывать не нужно.

В этой задаче для расчёта потенциальной энергии силы упругости относительно положения равновесия можно систему из пружины и чаши, в которой вес чаши уравновешивается начальным сжатием пружины, заменить одной пружиной, жесткость которой равна исходной пружине, и которая в состоянии равновесия не деформирована. Кроме того, ввиду того, что все силы в системе линейные и перемещение одномерное, замена на эквивалентную пружину оказывается точной не только для малых, но и для любых перемещений чаши.

Но прямолинейнее, конечно, рассчитать положение конца несжатой пружины без чаши, а потом учитывать потенциальную энергию пружины при сжатии относительно этого нейтрального положения.

[Uchitel'_istorii]

Uchitel'_istorii в сообщении #1247539 писал(а):

...
$-0.5kx^2 - mg = m\tfrac{d^2}{dt^2}x$.
...
$-0.5kx^2 = m\tfrac{d^2}{dt^2}x$.

Описка. Должно быть:
$-kx - mg = m\tfrac{d^2}{dt^2}x$.
$-kx = m\tfrac{d^2}{dt^2}x$.

realeugene в сообщении #1247545 писал(а):

В этой задаче для расчёта потенциальной энергии силы упругости относительно положения равновесия можно систему из пружины и чаши, в которой вес чаши уравновешивается начальным сжатием пружины, заменить одной пружиной, жесткость которой равна исходной пружине, и которая в состоянии равновесия не деформирована. Кроме того, ввиду того, что все силы в системе линейные и перемещение одномерное, замена на эквивалентную пружину оказывается точной не только для малых, но и для любых перемещений чаши

Если пружина имеет массу $m_\text{spr}$, мы ее заменяем на невесомую + груз $0.5m_\text{spr}$ на конце пружины. Кроме этого на конце пружины есть чаша. Непонятно, равновесие какого груза брать за ноль в потенциальной энергии гравитации. Суммарного?

[realeugene]

Uchitel'_istorii в сообщении #1247601 писал(а):

Суммарного?

Тех, которые первоначально находятся с пружиной в равновесии.

OK, для вас эти полуинтуитивные ощущения слишком сложны. Считайте через первоначальную длину пружины. Посчитайте, на сколько пружина была сжата первоначальным грузом, а потом это первоначальное сжатие учитывайте в формуле для потенциальной энергии пружины.