2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача нелинейного программирования ЗНЛП
Сообщение30.08.2017, 15:59 
Аватара пользователя


26/11/14
754
Доброго всем времени суток. Помогите с задачей: Даны три различных натуральных числа $a> b>c$, являющиеся длинами сторон тупоугольного треугольника. Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них: $\frac{a}{c} $, если известно, что среднее по величине из этих чисел $b=25$?
Решение.
Ищем: $\frac{a}{c} \to \min $
при нелинейных ограничениях:

$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 b +c >a  \\ 
 b^2 + c^2 < a^2 \\ 
\end{array}
\right.$$

где: первое - это неравенство треугольника, второе - для тупоугольного треугольника, $b=25$, или

$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 a-c<25 \\ 
 a^2 - c^2 > 625 \\ 
\end{array}
\right.$$

1 способ: для минимизации $\frac{a}{c}$ , необходимо величину $a>25$ и $c<25 $ выбрать как можно ближе к $25$. При этом должны выполняться ограничения. Рассуждаю интуитивно: при уменьшении знаменателя дробь растет гиперболически, а при увеличении числителя - линейно, поэтому логично знаменатель взять максимально возможный: $c=24$ , а числитель минимально возможный удовлетворяющий ограничениям, т.е. $a=35$. Таким образом, минимальное значение $ \frac{a}{c}=\frac{35}{24}$. Верно ли рассуждаю?

2 способ: хочу (очень) решить методом ЗНЛП, но сразу застрял. Функция и ограничения не выпуклые и не квадратичные, поэтому методы, рассмотренные в Акуличе, применить не могу (или не смог). Подскажите, можно ли и как здесь применить методы ЗНЛП?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача нелинейного программирования ЗНЛП
Сообщение30.08.2017, 19:12 


19/05/10

3940
Россия
Корень из двух получается, если картинку нарисовать. Только это инфимум

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача нелинейного программирования ЗНЛП
Сообщение31.08.2017, 12:54 
Аватара пользователя


26/11/14
754
С невыпуклостью похоже наврал, здесь все выпуклое. Решаю графически:

Изображение

нужно найти такие $x_1, \, x_2$ , при которых целевая функция (желтая прямая) будет иметь максимальный наклон и будут выполнены ограничения: $x_2 < 25 < x_1 $ и прямая будет лежать внутри красно-синей фигуры. Нарисовано кривовато, но виден ответ, который указал в первом посте: $x_2=24, \, x_1=35$

А вот с НЛП пока тружусь, изучаю основоположников.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача нелинейного программирования ЗНЛП
Сообщение31.08.2017, 19:57 


19/05/10

3940
Россия
А, точно, не заметил, что в задаче числа то натуральные!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача нелинейного программирования ЗНЛП
Сообщение01.09.2017, 16:50 
Аватара пользователя


26/11/14
754
mihailm в сообщении #1243981 писал(а):
Корень из двух получается, если картинку нарисовать. Только это инфимум
А каким методом Вы его получили? (не важно, что числа натуральные)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача нелинейного программирования ЗНЛП
Сообщение01.09.2017, 18:04 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Stensen, Ваши ограничения на плоскости $ca$ задают криволинейный треугольник, ограниченный сверху прямой $a=c+25$, снизу -- гиперболой $a=\sqrt{625+c^2}$ и справа -- прямой $c=25$. Фиксированному отношению отвечает прямая $a=k\,c$; она должна проходить через треугольник и её наклон должен быть как можно меньше. Если бы допускались нецелые числа, то такая прямая проходила бы через точку пересечения гиперболы и вертикальной прямой, т.е. через точку с координатами $c=25$ и $a=\sqrt{625+25^2}=25\sqrt2\approx35.35$. Целочисленная же точка -- это самая нижняя из точек, лежащая на вертикальной прямой $c=24$ внутри треугольника, а это может быть лишь $c=24,\ a=35$ или $c=24,\ a=36$ (учитывая, что наклон гиперболы меньше единицы). Остаётся убедиться в том, что первая точка действительно лежит выше гиперболы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача нелинейного программирования ЗНЛП
Сообщение02.09.2017, 12:57 


19/05/10

3940
Россия
Stensen в сообщении #1244337 писал(а):
..А каким методом Вы его получили? (не важно, что числа натуральные)
Как и ewert. Рисуем $b$, $c$ будет находится внутри полуокружности радиуса 25 из (например) правой вершины $b$, так как тре-к тупоугольный то вторая вершина $a$ в четверти круга и смотрим что значит a/c поменьше.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group