Написать доказательство без ошибок

[o23o31]

Помогите написать доказательство без ошибок следующего утверждения: "Для любого простого p, есть наименьшее x такое, что наименьший делитель $2^{x}-{x}^3$ равен p".

Привести пример я могу, а доказать самостоятельно - нет.

Пример: Пусть я подобрал для p=23 число x=31. Для простого 23, есть наименьшее 31 такое, что наименьший делитель $2^{31}-31^{3}$ равен 23.

${(2^{31}-31^{3})}=23 \cdot 29 \cdot 59 \cdot 197 \cdot 277$

Причём, деление $2^{31}-31^{3}$ на простые числа меньше 23 дают ненулевой остаток.
Если же уменьшать число 31 на y, то наименьший делитель $2^{31-y}-(31-y)^{3}$ не будет равен 23 ни для одного такого y<31.

[iifat]

Попробуйте выписать остатки от деления $2^x$ и $x^3$ на $23$ для $x$ от $0$ и далее. Нет ли какой закономерности? Лучше, наверное, взять простое поменьше.

[alcoholist]

o23o31 в сообщении #1243924 писал(а):

"Для любого простого p, есть наименьшее x такое, что наименьший делитель $2^{x}-{x}^3$ равен $p$"

Для начала сообразим, что если найдется хоть какое-то натуральное число $x$, для которого наименьший делитель $2^{x}-{x}^3$ равен p, то существует и наименьшее. Просто потому, что чисел, меньших $x$, конечное число.
Суждение

o23o31 в сообщении #1243924 писал(а):

Для простого 23, есть наименьшее 31 такое, что наименьший делитель $2^{31}-31^{3}$ равен 23.

не выдерживает критики))) Должно быть "наименьшим натуральным числом $x$, для которого наименьший делитель числа $2^{31}-31^{3}$ равен 23, является 31"
Но и это утверждение вы не доказали. Так как не доказали, что

o23o31 в сообщении #1243924 писал(а):

наименьший делитель $2^{31-y}-(31-y)^{3}$ не будет равен 23 ни для одного такого y<31