Вопрос о пересечении шара и сферы

[Dmitriy40]

(Сомнения)

arseniiv
Да я ведь уже не про ТС. Просто вот сферы пересекаются по окружности, область всегда односвязная (когда существует конечно). При понижении же размерности до 2, получаем пересечение окружностей уже в одной или двух точках - связность нарушилась. При понижении размерности до 1 и работе с 1-окружностями (это типа ведь просто две точки) связность решения остаётся той же, 1 или 2 (или решения не существует). Не уверен что в обратную сторону, с увеличением размерности, не будет снова топологического перехода. Хотя конечно для односвязной области понижать связность уже некуда, но вдруг будет снова повышение связности, т.е. появление снова двух или более несвязанных областей. Топология для меня тёмный лес. Нет ли теоремы о неповышении связности с повышением размерности при симметриях в новых измерениях? Интуитивно кажется правильным, но мало ли ...

[hazzo]

Dmitriy40 в сообщении #1243636 писал(а):

А в двухмерном случае, на плоскости с окружностью и кругом, понятно как получить дугу окружности исходя из центрального угла в центре окружности? Если да, то добавляете нужное количество измерений просто вращая полученную дугу окружности вокруг оси симметрии (прямой соединяющей центры) в дополнительных измерениях. Начните с трёхмерного случая, когда дуга окружности превращается в кусок сферы. Поняв этот переход пойти дальше в многомерие тривиально.

скалярное произведение векторов a и b
$ (a,b)=|a|.|b|.\cos\alpha$.

Если M1 и M2 - точки (гипер)сферы, то расстояние ω между этими точками, измеренное по большой окружности, равно углу между отрезками OM1 и OM2, умноженному на радиус r (гипер)сферы, т. е.

$ \cos\alpha/r = (\mathbf M_1,\mathbf M_2)/r^2$, где

(,) - скалярное произведение.

Но пока не понимаю как это поможет мне найти, например, отдельную точку пересечения, особенно в многомерном случае.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 28.08.2017, 19:11 --

hazzo, объясните, в каком виде Вам заданы исходные данные, в каком виде Вы хотите получить пересечение (оно, как здесь правильно уже сказали, является частью (гипер)сферы и содержит, вообще говоря, бесконечное число точек), и что именно Вам непонятно по поводу нахождения решения.

[arseniiv]

(Конец сомнениям! )

Dmitriy40 в сообщении #1243661 писал(а):

Не уверен что в обратную сторону, с увеличением размерности, не будет снова топологического перехода.

А, ну если две сферы, то не должно — получается же опять сфера, а только 1-сфера несвязна.

[hazzo]

Karan в сообщении #1243704 писал(а):

hazzo, объясните, в каком виде Вам заданы исходные данные.

гипершар и гиперсфера заданы их центрами и радиусами. Координаты центров - декартовые.

Karan в сообщении #1243704 писал(а):

hazzo, объясните, в каком виде Вы хотите получить пересечение (оно, как здесь правильно уже сказали, является частью (гипер)сферы и содержит, вообще говоря, бесконечное число точек).

Хочу в общем виде получить аналитическое описание (если это возможно) их пересечения, т.е., например, выражение, соединяющее угол при полюсе или центральный угол при центре сферы с координатами точки кругового сегмента пересечения.

Karan в сообщении #1243704 писал(а):

hazzo, объясните, и что именно Вам непонятно по поводу нахождения решения.

Уважаемый Dmitriy40 все прекрасно и верно объяснил, но я пока не вижу как получить из угла искомое описание пересечения. Если Вы поняли или знаете, объясните мне пожалуйста. Спасибо.

[Walker_XXI]

hazzo в сообщении #1243805 писал(а):

Хочу в общем виде получить аналитическое описание (если это возможно) их пересечения, т.е., например, выражение, соединяющее угол при полюсе или центральный угол при центре сферы с координатами точки кругового сегмента пересечения

Вам уже ответили, что в случае бесконечного числе точек "наилучшим" описанием будет уравнение (или система уравнений, неравенств), описывающее данное множество точек (линию, поверхность, гиперповерхность, область пространства...).

Координаты любой точки пересечения удовлетворяют этому уравнению (системе уравнений/неравенств). И таких точек бесконечно много.

[hazzo]

Walker_XXI в сообщении #1243839 писал(а):

Вам уже ответили, что в случае бесконечного числе точек "наилучшим" описанием будет уравнение (или система уравнений, неравенств), описывающее данное множество точек (линию, поверхность, гиперповерхность, область пространства...).

Координаты любой точки пересечения удовлетворяют этому уравнению (системе уравнений/неравенств). И таких точек бесконечно много.

Так, я и хочу найти это уравнение (или система уравнений, неравенств).

[Someone]

Дык, в чём проблема? Ваши сферы и шары задаются какими-то уравнениями и неравенствами. Соединяете их в систему. Потом систему можно упрощать с помощью равносильных преобразований.

[Walker_XXI]

hazzo в сообщении #1243843 писал(а):

Так, я и хочу найти это уравнение (или система уравнений, неравенств).

Вот ответ:

Dmitriy40 в сообщении #1243485 писал(а):

hazzo в сообщении #1243483 писал(а):

Вы имеете ввиду через треугольник $O_1AO_2$, где A точка сегмента, а $O_1 и O_2$ - центры шара и сферы?

Ну да. Хотя удобнее будет из этого же треугольника (для точки на окружности пересечения) получить угол при вершине центра сферы и потом просто вырезать круговой сегмент сферы (типа конус) с заданным углом при вершине.

-- 27.08.2017, 18:01 --

Если начало координат поместить в центр сферы, одну из осей направить через центр шара, то нормировав расстояния на радиус сферы получим лишь один безразмерный параметр системы - отношение расстояния до центра шара к его же радиусу. От него и будет зависеть угол раствора "конуса" из центра сферы, вырезающего интересующий сегмент на сфере.

-- 27.08.2017, 18:02 --

Мне кажется дальше продолжать уже тривиально, школьная геометрия, не более.

arseniiv в сообщении #1243630 писал(а):

Кусок гиперсферы единичного радиуса, находящейся в начале координат, определяется системой уравнений $(\mathbf r,\mathbf s) = \cos\alpha$, $(\mathbf r,\mathbf r) = 1$, где $(,)$ — скалярное произведение, $s$ — единичный вектор в интересующем направлении, $\alpha$ — угол при вершине гиперконуса, $\mathbf r$ — радиус-вектор интересующих точек. Не знаю, аналитически это по вашим меркам или нет. Если нужна сфера меньшей размерности, добавляете в систему столько уравнений гиперплоскостей $(\mathbf r,\mathbf n_i) = 0$, сколько понадобится (для простоты нормали $\mathbf n_i$ к гиперплоскостям все вместе с $\mathbf s$ должны быть линейно независимыми).

Ходим по кругу. Или по окружности?

[hazzo]

Walker_XXI в сообщении #1243852 писал(а):

Вот ответ:

arseniiv в сообщении #1243630 писал(а):

Кусок гиперсферы единичного радиуса, находящейся в начале координат, определяется системой уравнений $(\mathbf r,\mathbf s) = \cos\alpha$, $(\mathbf r,\mathbf r) = 1$, где $(,)$ — скалярное произведение, $s$ — единичный вектор в интересующем направлении, $\alpha$ — угол при вершине гиперконуса, $\mathbf r$ — радиус-вектор интересующих точек. Не знаю, аналитически это по вашим меркам или нет. Если нужна сфера меньшей размерности, добавляете в систему столько уравнений гиперплоскостей $(\mathbf r,\mathbf n_i) = 0$, сколько понадобится (для простоты нормали $\mathbf n_i$ к гиперплоскостям все вместе с $\mathbf s$ должны быть линейно независимыми).

Это мне вообще не понятно. Может быть после 20-го прочтения мне будет понятно.

-- 29.08.2017, 18:03 --

Someone в сообщении #1243845 писал(а):

Дык, в чём проблема? Ваши сферы и шары задаются какими-то уравнениями и неравенствами. Соединяете их в систему. Потом систему можно упрощать с помощью равносильных преобразований.

Ищу решение в общем (для любого (гипер)шара и любой (гипер)сферы). Спасибо.

[INGELRII]

По-моему, вы все излишне усложняете задачу. Ее по-хорошему можно школьникам давать, конечно, предварительно объяснив, что такое гипершары-гиперсферы.

Здесь было полное решение задачи но я его удалил, чтобы дать и другим шанс сообразить. Даю лучше подсказку: пересечение сферы и шара - это точно то же самое, что пересечение сферы и полупространства (области, на которое пространство делится гиперплоскостью). Как найти эту делящую гиперплоскость, сами сообразите?