2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Минимальный многочлен для модуля комплексного корня урав-ния
Сообщение26.08.2017, 01:51 


29/06/08
53
Возьмем многочлен

$x^4 + x^3 + 3\,x^2 + x + 1 = 0$

У него 0 действительных корней и 4 комплексных. Если взять модуль от каждого из 4 комплексных чисел, то у нас будут 2 разных действительных числа-модуля. Мне для некоторой цели нужно было посчитать минимальный многочлен с рациональными коэффициентами для этих 2 модулей (он один и тот же). Повозившись, нашел его. К некоторому удивлению обнаружил, что минимальный многочлен для модулей подозрительно похож на исходный:

$x^8 - x^6 - 3\,x^4 - x^2 + 1 = 0$

Является ли это сходство коэффициентов случайным, или у него есть какая-то причина? Можно ли было как-то установить похожесть и найти минимальный многочлен для модулей без больших вычислений? Спасибо.

Для справки, 4 корни исходного уравнения таковы:

$\frac{1}{4}\left(-1+i\sqrt {3}+\sqrt {-18-2\,i\sqrt {3}}\,\right)$
$\frac{1}{4}\left(-1-i\sqrt {3}+\sqrt {-18+2\,i\sqrt {3}}\,\right)$
$\frac{1}{4}\left(-1+i\sqrt {3}-\sqrt {-18-2\,i\sqrt {3}}\,\right)$
$\frac{1}{4}\left(-1-i\sqrt {3}-\sqrt {-18+2\,i\sqrt {3}}\,\right)$


Модуль первого и второго корня равен

$\frac{1}{2} \sqrt{1 + \sqrt{21} - \sqrt{6+2\sqrt{21}}}$

Модуль третьего и четвертого корня равен

$\frac{1}{2} \sqrt{1 + \sqrt{21} + \sqrt{6+2\sqrt{21}}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимальный многочлен для модуля комплексного корня урав-ния
Сообщение26.08.2017, 08:12 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Ну, можно попробовать так.
Есть у нас многочлен с (комплексными) корнями $z_1,z_2=\bar{z_1},z_3,z_4=\bar{z_3}$. Мы хотим построить многочлен с одним из корней $z_1z_2$, потом можно будет подставить $x^2$ вместо $x$. Из соображений симметрии, корнями будут произведения различных корней. Например, свободным членом будет $\prod_{i\ne j}x_ix_j=\left(\prod_{i=1}^4x_i\right)^3$, если не напутал, то бишь, куб нашего свободного члена, а поскольку в нашем частном случае свободный член единица, то попросту совпадает. Видно также, что для других значений такого совпадения не будет. Подозреваю, что и с остальными коэффициентами та же история.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group