2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Метод интеграла по траекториям в оптике
Сообщение25.08.2017, 19:23 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Я читал, что функциональный интеграл можно корректно определить только если лагранжиан в показателе экспоненты квадратичен по скоростям или координатам. Как например в случае лагранжиана классической частицы, из которого можно получить пропагатор ур-я Шредингера, взяв функциональный интеграл.
А вот как быть в случае оптики? Там же вклад от траектории определяется как $\frac{exp(ikL)}{L}$, где $L$ — длина пути виртуального вклада. Но ведь такое действие нелокально. Т.е. если мы возьмем часть такой траектории, и будем его варьировать, то изменение вклада в амплитуду события будет зависить от неварьируемой части, в отличие например от вклада классической частицы. И например, пусть событие 2 вносит вклад в амплитуду события 1, и событие 2 может наступить двумя путями, A и B, а событие 1 может наступить из события 2 тоже двумя путями, A1 и B1. Тогда итоговый вклад в событие 1 будет получаться сложением вкладов от траекторий, проходящих через эти события, т.е. АА1, АВ1, ВА1, ВВ1.Но в случае локального действия, как в случае с классической частицей, мы можем сначала вычислить амплитуду события 2 как сумму вкладов от А и В, а потом эту амплитуду умножить на значение пропагатора для события 2 в событии 1, т.е. он будет равен сумме вкладов А1 и В1. Но этого свойства не дает сделать обратная пропорциональность расстоянию в случае фотона. Это плохо?
И еще вопрос, насколько вообще хорошо берется этот функциональный интеграл численно? Ведь его из-за нелокальности нельзя разбить на многократные свертки, как в случае квантовой частицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод интеграла по траекториям в оптике
Сообщение25.08.2017, 21:48 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Sicker в сообщении #1243026 писал(а):
А вот как быть в случае оптики?
Подозреваю, что так же, как и в случае релятивистской механики: надо взять другое действие, которое будет квадратично по всему, по чему оно должно быть, но при этом будет приводить к тем же уравнениям движения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод интеграла по траекториям в оптике
Сообщение25.08.2017, 23:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Sicker в сообщении #1243026 писал(а):
Я читал, что функциональный интеграл можно корректно определить только если лагранжиан в показателе экспоненты квадратичен по скоростям или координатам.
Это неправда. В этом случае его легко сосчитать, а определить его можно на гораздо более широком классе функционалов. Если говорить об оптике, то один из подходов описан у Демичева с Чайчианом. Chaichian M., Demichev A. Path integrals in physics, vol.1. Stochastic processes and quantum mechanics (IOP, 2001) 2.2.6 Applications of path integrals to optical problems based on a formal analogy with quantum mechanics. Стр. 187.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод интеграла по траекториям в оптике
Сообщение26.08.2017, 23:06 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
amon
, а я че-то не врубился, какой там функционал? Такой же как у меня только без деления?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод интеграла по траекториям в оптике
Сообщение27.08.2017, 01:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Sicker в сообщении #1243300 писал(а):
а я че-то не врубился, какой там функционал?
Там рассматривается два подхода в рамках скалярной оптики (это когда мы усредняемся по поляризациям, и вводим вместо электромагнитных полей фиктивное комплексное поле $u$, такое, что интенсивность $I=|u|^2$). Первый связан с принципом Ферма. Если у нас есть пучок, распространяющийся преимущественно в направлении $z$, то при заданном в плоскости $z_0$ поле $u(x,z_0)$ поле в плоскости $z_0+dz$ получится сложением всех лучей, вышедших из плоскости $z=z_0$. В эйкональном приближении такие лучи это $u(x',z_0)e^{-ik\,dS}$, а $dS$ - оптическая длина пути $dS=n(x,z)dl=n(x,z)\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=n(x,z)\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dz}\right)^2+\left(\frac{dy}{dz}\right)^2}\,dz.$ Величина $e^{-ik\,dS}$ при таком подходе это аналог $\hat{U}=e^{-i\hat{H}t},$ оператора развития в квантовой механике, а координата $z$ - аналог времени. Тогда по аналогии можно написать ответ для функции Грина $G(x,x',z)$ нашего поля $u$. Эта функция позволяет вычислить поле $u$ в любой точке на оси $z$ если мы знаем, скажем, $u(x,0)$: $u(x,z)=\int dx' G(x,x',z)u(x',0).$ Получится $G(x,x',z)=N\int Dx(z)\exp(-ik\int\limits_{0}^{z}dS(x(z'),z'))$, где $x(z=0)=x$ и $x(z)=x'$ в полной аналогии с квантовой механикой. Т.е. функционал там - $\int\limits_{0}^{z}dz' n(x,z')\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dz'}\right)^2+\left(\frac{dy}{dz'}\right)^2}.$

Второй способ связан со сведением волнового уравнения к уравнению Шредингера и прямым применением к последнему всей машинерии функционального интегрирования.

Ваше $\frac{\exp(ikL)}{L}$ - это недописанный результат решения уравнения в случае однородного пространства в сферических координатах (если под $L$ понимать радиус). Оно имеет очень касательное отношение к функциональному интегралу (такое же решение есть и у уравнения Шредингера). Для написания функционального интеграла нужно написать функцию распространения (функцию Грина) для коротких времен и переписать распространение на конечное время как много коротких шагов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод интеграла по траекториям в оптике
Сообщение27.08.2017, 02:24 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
т.е., говоря простыми словами, вклад в амплитуду для какой-то виртуальной траектории будет равен $\exp(-ikL)$, где L - длина виртуальной траектории.

-- 27.08.2017, 02:27 --

amon в сообщении #1243327 писал(а):
$u(x,0)$: $u(x,z)=\int dx' G(x,x',z)u(x',0).$

А если у нас в промежуточной области между плоскостями $x'$ и $x$ будет какое то тело, то функция Грина останется такой же? Или не учитывать те вклады, если прямая $x-x'$ пересекает наше непрозрачное тело?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод интеграла по траекториям в оптике
Сообщение27.08.2017, 03:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Sicker в сообщении #1243333 писал(а):
А если у нас в промежуточной области между плоскостями $x'$ и $x$ будет какое то тело, то функция Грина останется такой же? Или не учитывать те вклады, если прямая $x-x'$ пересекает наше непрозрачное тело?
В таком формализме это вставляется в показатель преломления (бесконечный, чисто мнимый).

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод интеграла по траекториям в оптике
Сообщение27.08.2017, 15:05 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
amon в сообщении #1243336 писал(а):
В таком формализме это вставляется в показатель преломления (бесконечный, чисто мнимый).

Но ведь амплитуда вклада там не ослабевает с расстоянием, и получается, свет все равно пройдет через непрозрачное тело, а не обогнет его.

-- 27.08.2017, 15:05 --

amon в сообщении #1243336 писал(а):
В таком формализме это вставляется в показатель преломления (бесконечный, чисто мнимый).

А т.е. и функция Грина будет зависеть от расположения различных тел над плоскостью?

-- 27.08.2017, 15:18 --

Sicker в сообщении #1243426 писал(а):
В таком формализме это вставляется в показатель преломления (бесконечный, чисто мнимый).

А, он еще мнимый? Т.е. там тупо амплитуда упадет в ноль тогда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод интеграла по траекториям в оптике
Сообщение28.08.2017, 00:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Sicker в сообщении #1243426 писал(а):
А т.е. и функция Грина будет зависеть от расположения различных тел над плоскостью?

А, он еще мнимый? Т.е. там тупо амплитуда упадет в ноль тогда?
Вижу, Вы все правильно поняли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод интеграла по траекториям в оптике
Сообщение28.08.2017, 20:45 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
amon, это выражение для действия похоже на действие для релятивистской частицы, только с другой метрикой. И если из этого действия получается уравнение Гельмгольца, то в случае релятивистской частицы получается уравнение Клейна-Гордона-Фока, которое по форме напоминает уравнение Гельмгольца в оптике, при похожих то лагранжианах!

-- 28.08.2017, 20:46 --

Все, я понял КТП!
Я в ФЕЙНМАНЕ! :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод интеграла по траекториям в оптике
Сообщение18.09.2017, 19:47 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
amon
А вот тот осциллирующий интеграл не сходится, т.к. на бесконечности он не квадратичен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод интеграла по траекториям в оптике
Сообщение19.09.2017, 22:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Sicker в сообщении #1248742 писал(а):
А вот тот осциллирующий интеграл не сходится
Сходится. На днях отвечу как. Сейчас пока занят, так что подождите пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод интеграла по траекториям в оптике
Сообщение24.09.2017, 23:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
И наконец, о функциональных интегралах. Sicker, Вы просили.
Тут есть две темы. Простая и посложнее. Начнём с простой. Интеграл $G(x,x',z)=N\int Dx(z)\exp(-ik\int\limits_{0}^{z}dS(x(z'),z'))$ написан во-первых, в приближении квазигеометрической оптики, а во-вторых, в параксиальном приближении:
amon в сообщении #1243327 писал(а):
Если у нас есть пучок, распространяющийся преимущественно в направлении $z$...
Последнее означает, что пучок слабо отклоняется от направления $z$. Значит в $\int\limits_{0}^{z}dz' n(x,y,z')\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dz'}\right)^2+\left(\frac{dy}{dz'}\right)^2}$ величины $\frac{dx}{dz'},\frac{dy}{dz'}\ll 1$ и подынтегральную величину можно раскладывать в ряд. Получим $\int\limits_{0}^{z}dz' n(x,y,z')\left(1+\frac{1}{2}\left(\frac{dx}{dz'}\right)^2+\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dz'}\right)^2\right)$, то есть Гауссов интеграл. Если такой трюк вызывает отторжение, то надо вспомнить про квазигеометрическую оптику. Она означает, что работать надо вблизи классического луча, и стало быть осмысленное выражение это разложение вблизи классического луча $$G(x,x',z)=\exp(iS_\text{cl})\int Dy(z)\exp\left(-ik\int\limits_{0}^{z}dz'\left.\frac{\delta^2 S}{\delta x(z')^2}\right|_{x=x_\text{cl}}y^2(z')\right)$$. Оно тоже гауссово.

Если и это производит впечатление некоторого читерства, то есть третий путь. Я, к сожалению, не помню, где это описано, поэтому воспроизведу по памяти (то есть, с ошибками). Итак, решаем мы уравнение скалярной оптики:
$$
\frac{n^2}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-\nabla^2u=0
$$
Во-первых, сделаем преобразование Фурье по времени, а во-вторых, введём новую переменную $y=\frac{\omega}{Bc}x.$ Букву $B$ вводят для удобства перехода к геометрической оптике ($B\to\infty$).
Кроме того, выделим из $n(y)$ часть, равную константе на бесконечности: $n(y)=E+V(y)\quad V\to0$ если $y\to\infty$. Тогда получим
$$
-\frac{1}{B^2}\nabla^2u+V(y)u=Eu
$$Ничего не напоминает? Что бы окончательно добить это до уравнения Шрёдингера введём фиктивное время $\tau$ и функцию
$$\Psi(y,\tau)=e^{-iEB\tau} u(y)$$Всё, золотой ключик в кармане. Мы получаем зависящее от времени уравнение Шрёдингера
$$
-\frac{1}{B^2}\nabla^2\Psi+V(y)\Psi=\frac{i}{B}\frac{\partial\Psi}{\partial \tau}
$$
и можем натравить на него весь аппарат функционального интегрирования.

При этом надо помнить, что величина, считаемая в лоб по Фейнману
$$
G(y,y_0,\tau)=\int Dy \exp{\left(iB\int\limits_{0}^{\tau}\left(\frac{1}{2}\left(\frac{\partial y}{\partial \tau'}\right)^2-V(y)\right)d\tau'\right)}
$$бессмысленная, поскольку зависит от не физической $\tau$, а осмысленная -
$$
\int\limits_{0}^{\infty}d\tau\int Dy e^{iB(E\tau+S[y])},
$$и осмыслена она только вблизи точки перевала, где ее и надо варьировать. В качестве упражнения оставляю Вам доказательство того, что вблизи перевала этот подход совпадает с предыдущим (а то надо опять всякой ерундой заняться).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group