2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Когда линейная комбинация матриц будет невырожденной?
Сообщение25.08.2017, 12:52 


12/11/13
78
Добрый день!

Возникла такая задча. Пусть задан набор из $n$ квадратных $n\times n$ матриц действительных чисел $A_i$, где $i=1,\ldots,n$, причём каждая матрица $A_i$ неврожденная. Есть вектор $x\in\mathbb{R}^n$, $|x|=1$. Построим $n$ векторов $y_i = A_i x$ и сформируем из них квадратную $n\times n$ матрицу $F=[y_1 \ y_2 \ \ldots \ y_n]$. Вопрос: при каких условиях на матрицы $A_i$ матрица $F$ будет неврождена для всех $x$, $|x|=1$?


Допустим, что для некоторого x матрица $F$ сингулярна. Тогда её столбцы линейно зависимы и существует такой набор $\lambda_1, \lambda_2,  \ldots, \lambda_n$, не равных нулю одновременно, что $\lambda_1y_1+ \lambda_2y_2 + \ldots + \lambda_ny_n=0$, то есть $\left(\lambda_1A_1+ \lambda_2A_2 + \ldots + \lambda_nA_n\right)x=0$. Соответственно, исходный вопрос можно перефрмулировать: при каких условиях на матрицы $A_i$ любая их линейная комбинация будет невырожденной?

Пусть $v_k^i$ это $k$-ый столбец матрицы $A_i$, то есть $A_i=[v_1^i \ v_2^i \ \ldots \ v_n^i]$. Пусть матрица $V_k$ сформирована из $k$-ых столбцов всех матриц $A$, $V_k=[v_1^1 \ v_1^2 \ \ldots \ v_1^n]$. То есть $V_1$ это совокупность всех первых столюцов, $V_2$ -- совокупность всех вторых столбцов, и так далее. Тогда очевидно, что необходимым условием будет чтобы все матрицы $V_k$, $k=1,\ldots, n$, были невырождены. Но не уверен, будет ли это условие достаточным.

Подскажите, пожалуйста, как решать и куда двигаться?

-- 25.08.2017, 14:48 --

Продолжаю думать над задачей. Пусть $\lambda = \mathrm{col}\{\lambda_i\}$ - вектор с коэффициентами $\lambda$. Обозначим $H(\lambda) = \lambda_1A_1+ \lambda_2A_2 + \ldots + \lambda_nA_n$, тогда справедливо $$H(\lambda)=\begin{bmatrix}V_1\lambda & V_2\lambda & \ldots & V_n\lambda\end{bmatrix},$$ и матрица $H(\lambda)$ должна быть несингулярной для любого ненулевого $\lambda$. То есть совокупность матриц $V$ должна быть такой, что из любого вектора $\lambda$ они образуют полный базис в $\mathbb{R}^n$. Может ли это как-то помочь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда линейная комбинация матриц будет невырожденной?
Сообщение27.08.2017, 01:52 


16/06/14
96
Не получится.
Обозначим $B = \lambda_2A_2+ \lambda_3A_3 + \ldots + \lambda_nA_n$.
Запишем $\lambda_1A_1+\ldots+\lambda_nA_n$ как $A_1(\lambda_1E+A_1^{-1}B)$. Положив $\lambda_1$ противоположным любому собственому числу матрицы $A_1^{-1}B$ получим линейную комбинацию, являющуюся вырожденной матрицей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда линейная комбинация матриц будет невырожденной?
Сообщение27.08.2017, 09:52 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
Для $n=2$ есть простой пример. Собственные числа могут быть комплексными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда линейная комбинация матриц будет невырожденной?
Сообщение27.08.2017, 10:58 


16/06/14
96
Да, поспешил. Null, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда линейная комбинация матриц будет невырожденной?
Сообщение28.08.2017, 11:58 


12/11/13
78
deep down в сообщении #1243378 писал(а):
Да, поспешил. Null, спасибо.

Тем не менее, если я правильно понял, то для любого нечётного $n$ Ваши рассуждения верны, и матрица $F$ будет вырождена для какого-то $x$. Интересно, что у меня по физическому смыслу задачи $n$ быть только чётным.

Если подробнее, то у меня вектор $x$ имеет вид $$x = \begin{bmatrix}\sin(\psi_1) & \cos(\psi_1) & \sin(\psi_2) & \cos(\psi_2) & \ldots & \sin(\psi_N) & \cos(\psi_N)\end{bmatrix}^\top,$$ и $n=2N$. Все аргументы $\psi_i$ друг от друга не зависят. Не знаю, может ли это как-то помочь в задаче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда линейная комбинация матриц будет невырожденной?
Сообщение28.08.2017, 12:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
Arastas в сообщении #1242886 писал(а):
при каких условиях на матрицы $A_i$ любая их линейная комбинация будет невырожденной

"Растянуть" каждую матрицу в столбец, объединить их в одну и посчитать ранг...?

-- 28.08.2017, 12:54 --

Arastas в сообщении #1243599 писал(а):
Если подробнее, то у меня вектор $x$ имеет вид

Выглядит так, будто формулировка в комплексных числах будет более "физична"...

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда линейная комбинация матриц будет невырожденной?
Сообщение28.08.2017, 13:06 


12/11/13
78
Geen в сообщении #1243607 писал(а):
"Растянуть" каждую матрицу в столбец, объединить их в одну и посчитать ранг...?

Не работает, проверял на примерах. Получается матрица $n^2\times n$, у неё ранг $n$, однако для некоторого $\lambda$ линейная комбинация вырождена.

Geen в сообщении #1243607 писал(а):
Выглядит так, будто формулировка в комплексных числах будет более "физична"...

Согласен, работаю в этом напралении. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда линейная комбинация матриц будет невырожденной?
Сообщение28.08.2017, 13:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
Arastas в сообщении #1243611 писал(а):
Не работает, проверял на примерах. Получается матрица $n^2\times n$, у неё ранг $n$, однако для некоторого $\lambda$ линейная комбинация вырождена.

Вполне возможно, что я действительно настолько забыл линал, но пример хотелось бы увидеть :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда линейная комбинация матриц будет невырожденной?
Сообщение28.08.2017, 14:25 


12/11/13
78
Geen в сообщении #1243612 писал(а):
Вполне возможно, что я действительно настолько забыл линал, но пример хотелось бы увидеть :-)

Пусть $$A_1=\begin{bmatrix}-8 & -1 \\ 0 & 6\end{bmatrix}, \quad A_2=\begin{bmatrix}221 & -80 \\ -80 & 64\end{bmatrix}.$$
Обе матрицы невырождены. Ранг матрицы $$\begin{bmatrix}\operatorname{vec}\{A_1\} & \operatorname{vec}\{A_2\}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-8 & 221 \\ 0 & -80 \\ -1 & -80 \\ 6 & 64 \end{bmatrix}$$ равен 2. Однако матрица $H=-7.1796A_1+A_2$ вырождена. Здесь $7.1796$ -- собственное число матрицы $A_1^{-1}A_2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда линейная комбинация матриц будет невырожденной?
Сообщение28.08.2017, 15:08 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
Попробуйте матрицы $$A_1=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}, \quad A_2=\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда линейная комбинация матриц будет невырожденной?
Сообщение28.08.2017, 15:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
Да, ошибся, был невнимателен. :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда линейная комбинация матриц будет невырожденной?
Сообщение29.08.2017, 18:22 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
Знаю примеры для $n=2,4,8$

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда линейная комбинация матриц будет невырожденной?
Сообщение31.08.2017, 10:05 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
Похоже это доказанная Гипотеза Фробениуса для алгебр с делением(без ассоциативности и коммутативности). Проверьте кто-нибудь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда линейная комбинация матриц будет невырожденной?
Сообщение31.08.2017, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Похоже на правду -- умножение можно задать через $(xy)_i=(A_i x,y)$, где скобки -- стандартное скалярное произведение. Тогда отсутствие делителей нуля -- это то же самое, что невырожденность в исходной задаче. Кажется.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group