Теория групп. Теоремы Силова

[Noct]

Есть задача:
Доказать, что в группе порядка $p^2q$, где $p,q$ - различные простые числа
есть нормальная силовская подгруппа.
Я решил, что нормальная силовская подгруппа в этом случае должна иметь порядок $p^2$, ибо есть пример с знакопеременной группе порядка $12$.
Пусть $N_p$ - число силовский $p$-подгрупп, тогда
$N_p \equiv 1 \pmod p$ и $N_p |q$, отсюда
$N_p =1$, что нам собственно и надо или, если $q \equiv 1 \pmod p$, то $N_p =q$
Вопрос почему невозможен 2 вариант?

[mihiv]

Noct в сообщении #1242641 писал(а):

Я решил, что нормальная силовская подгруппа в этом случае должна иметь порядок $p^2$, ибо есть пример с знакопеременной группе порядка $12$.

Это не всегда так. Если $q>p^2$, то как раз $N_q=1$.