Переходный процесс в цепи 3-го порядка. Операторный метод.

[DEP]

Здравствуйте. В ходе расчёта пп возник вопрос.


$u_c(t) = u_c(0) + \frac{1}{C}\int\limits_0^t i_c(t)\,dt$
$u_L(t) = L\frac{di_L(t)}{dt}$

$U_c(s) = \frac{u_c(0)}{s}+\frac{I_c(s)}{sC}$

$U_L(s)=sLI_L(s)-Li_L(0)$

Входной сигнал - импульсное ступенчатое воздействие E(t).
Система уравнений составленная по законам Кирхгофа в операторном виде:

$I_1(s)-I_3(s)-I_2(s)=0$
$I_1(s)(sL_1+R_1)+I_3(s)\frac{1}{sC_3}=E(s) +L_1i_1(0)-\frac{u_C_3(0)}{s} $
$I_3(s)\frac{1}{sC_3} - I_2(s)(sL_2+R_2)=-\frac{u_c(0)}{s}-L_2i_2(0) $

При нулевых начальных условиях
$\Delta = -\frac{R_1+R_2+s(L_1+L_2+C_2R_1R_2)+s^2C_3(L_1R_2+L_2R_1)+s^3C_3L_1L_2}{sC_3}$
$\Delta{I_1} = - \frac{E}{p}\cdot{\frac{s^2C_3L_2+sC_3R_2+1}{sC_3}}$

Нахожу оригинал изображения $I_1(s) = \frac{\Delta{I_1}}{\Delta}$ - получается у меня колебательный переходный процесс амплитуда которого стремится к нулю, тоесть $I_1(t)$ после нескольких колебаний уходит в ноль, а должен выйти на установившееся значение (видно на схеме) равное $I_1 = \frac{E}{R_1+R_2}$ !

У меня вопрос - что я не учёл и не записал в уравнениях ?

[svv]

Вместо $\frac E p$ должно быть $\frac E s$.
Тогда по теореме о конечном значении оригинала
$\lim\limits_{t\to\infty}i_1(t)=\lim\limits_{s\to 0}sI_1(s)=\frac{E}{R_1+R_2}$

[svv]

Это другой вопрос.

Я отвечал на Ваш вопрос: где же ошибка? Ответ такой: Ваше выражение

$$I_1(s) = E s^{-1} \frac{s^2C_3L_2+sC_3R_2+1} {R_1+R_2+s(L_1+L_2+C_2R_1R_2)+s^2C_3(L_1R_2+L_2R_1)+s^3C_3L_1L_2}$$

предсказывает правильное значение установившегося тока $i_1(\infty)$. По теореме о конечном значении, чтобы его получить, надо в этом выражении убрать множитель $s^{-1}$ и потом положить $s=0$.

[DEP]

svv в сообщении #1242541 писал(а):

Вместо $\frac E p$ должно быть $\frac E s$.

У меня $\frac E s$, а то опечатка в посте.

svv в сообщении #1242541 писал(а):

Тогда по теореме о конечном значении оригинала
$\lim\limits_{t\to\infty}i_1(t)=\lim\limits_{s\to 0}sI_1(s)=\frac{E}{R_1+R_2}$

Я извиняюсь, у меня $E=100V$, $\frac{E}{R_1+R_2} = 10A$, но амплитуда колебаний свободной составляющей $I_1(t)$ аж больше 4000 ампер, и на графике с большим масштабом просто не видно этих установившихся 10А - принял за ноль. И в формуле оригинала растущий по экспоненте принуждённый ток тоже пропустил мимо внимания. Это всё спешка, работа, и невнимательность.

Думаю тему можно считать закрытой.

[svv]

OK, рад, что вопросы разрешились.

[DEP]

svv в сообщении #1242656 писал(а):

OK, рад, что вопросы разрешились.

Дааа, ведь сам же разложил эту передаточную функцию на простейшие дроби, одна дробь (множитель $\frac{E}{s}$ даёт полюс равный нулю) - оригинал постоянная составляющая, дробь где полюсом является действительный корень определителя - оригинал экспонента, дроби где полюсы комплексно сопряжённые корни определителя дают оригинал синус и косинус... А я смотрю на график - почему нарисован ноль принудждёной...

Спасибо за участие.