спираль охватывающая всё пространство

[Soul Friend]

существует ли формула (функция) трёхмерной спирали, по которой точка, в начале её полярных координат, стала двигаться и заполнила бы всё пространство?

[Dmitriy40]

Именно спирали не знаю, но вот про кривую Пеано (и Гильберта) говорят есть её обобщения на любую размерность, заполняющие всё пространство. Что она в обе стороны от начальной точки - не проблема, можно считать её "спиралью" с двумя ветвями. Во всяком случае это можно взять отправной точкой в поиске самостоятельных попыток решения.

[Soul Friend]

да, кривая Гильберта непрерывна, но оно заполнит лишь одну восьмую пространства. Чтобы кривая заполнила всё пространство она должна иметь начальную точку в центре, последующие должны быть вокруг неё. Я представляю сферическую спираль, которая после завивания вокруг одной сферы (шара) с радиусом $r$ переходит на сферу с радиусом $r+1$. Только, после каждого такого перехода по крайней мере одна точка (точка перехода) остается не замощённой, иначе бы все замкнулось(хотя, не уверен в этом). Линию из таких точек можно было бы назвать вектором этой спирали.

[Dmitriy40]

Soul Friend в сообщении #1242317 писал(а):

после завивания вокруг одной сферы (шара) с радиусом $r$ переходит на сферу с радиусом $r+1$.

И при этом оставляете пустыми бесконечно много сфер с радиусами $r \in (r; r+1)$. А добавлять бесконечно малое не получится.
Или тогда честно говорите про шаровой слой, а не сферы. И не будет большой разницы заполнять шаровой слой или всё пространство.
Или Вам хочется обязательной монотонности по радиусу?

Soul Friend в сообщении #1242317 писал(а):

кривая Гильберта непрерывна, но оно заполнит лишь одну восьмую пространства.

С чего бы это? Она, как и кривая Пано, полностью заполняет куб $[0;1]$ по каждой координате, а он в свою очередь отображается на всё пространство (может за исключением пары точек).

[Soul Friend]

Dmitriy40 в сообщении #1242323 писал(а):

Или тогда честно говорите про шаровой слой

если это будет более корректно, то шаровый слой.
И как это выразить математический (с обязательной монотонностью по радиусу)?

[Someone]

Soul Friend в сообщении #1242328 писал(а):

И как это выразить математический (с обязательной монотонностью по радиусу)?

Никак. Более того, такой кривой "с обязательной монотонностью по радиусу" вообще не существует. Без монотонности, кстати, тоже никак.

[Soul Friend]

ну, как вариант, можно два раза закрутить спираль архимеда до радиуса $r$, после, увеличить радиус $r=r+1$.

[Dmitriy40]

Soul Friend
Ни при каком действительном коэффициенте к радиусу спираль Архимеда не заполняет плоскость, между соседними витками остаётся бесконечно много вариантов размещения ещё точно такой же спирали (с другим начальным углом или повёрнутой на некоторый угол). Которых ровно столько, сколько действительных чисел в интервале $[0; 2\pi)$ - т.е. бесконечно много.
Потому разумеется и пространство заполнять не будет.

[Soul Friend]

а как на счет этого варианта:

Единичным отрезком дуги может считаться начальный радиус.

[Mikhail_K]

А что Вы имеете в виду, когда говорите "заполняет всё пространство" (или "заполняет всю плоскость")?
Та спираль, которую Вы нарисовали - Вы же видите, что она оставляет пробелы между витками, не заполняет их?
Но если Вам такая спираль подходит, значит всё нормально.

[Soul Friend]

Так ведь кривая Пеано тоже оставляет пробелы.

[provincialka]

Нет! Именно что не оставляет!
Но только она имеет самопересечения: без самопересечений отрезок в двумерную фигуру не отобразить.

[svv]

Мне подошла бы кривая $\gamma: \mathbb R\to\mathbb R^3$ без самопересечений, которая к любой точке пространства подходит как угодно близко:
$\forall \varepsilon>0\; \forall \mathbf r \;\exists t: \; |\gamma(t)-\mathbf r|<\varepsilon$

[Mikhail_K]

Soul Friend в сообщении #1242360 писал(а):

Так ведь кривая Пеано тоже оставляет пробелы.

Кривая Пеано не оставляет пробелов. Вероятно, Вы говорите сейчас не про саму кривую Пеано, а про приближения к ней, которые обычно и рисуют на картинках. Если нарисовать саму кривую Пеано, то на таком рисунке, как на картине Малевича, будет только чёрный квадрат и всё, и будет непонятно, как эта кривая устроена.

[Soul Friend]

Mikhail_K в сообщении #1242369 писал(а):

не про саму кривую Пеано, а про приближения к ней, которые обычно и рисуют на картинках

да, я о картинках))). Спасибо всем, пойду штудировать кривые Пеано. (но мой рисунок ведь тоже можно интерпретировать как приближения?)