2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Поставить три точки в одну плоскость с тремя другими
Сообщение17.08.2017, 20:18 


25/02/11
123
Разумеется все координаты заданы не на плоскости, а в трехмерном пространстве, в этом-то вся и соль.
Проиллюстрирую чтобы долго не рассуждать:
http://meson.ad-l.ink/8HXrlpLtT/image.png
Мне известны координаты $A$, $B$ и $C$, а так же все расстояния и углы, найти надо координаты $D$, $E$ и $F$. Все 6 точек должны быть в одной плоскости.
Догадываюсь что надо как-то комбинировать скалярные и векторные произведения много-много раз, но как именно я не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поставить три точки в одну плоскость с тремя другими
Сообщение17.08.2017, 20:25 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Правильно ли я понимаю?
Даны точки $A,B,C$, а также $D,E,F$.
Надо найти такие точки $D', E', F'$, чтобы расстояния и углы между ними соответствовали расстояниям и углам между $D,E,F$, при этом все три точки $D', E', F'$ лежали в плоскости $ABC$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поставить три точки в одну плоскость с тремя другими
Сообщение17.08.2017, 20:31 


25/02/11
123
svv в сообщении #1241373 писал(а):
Правильно ли я понимаю?
Даны точки $A,B,C$, а также $D,E,F$.
Надо найти такие точки $D', E', F'$, чтобы расстояния и углы между ними соответствовали расстояниям и углам между $D,E,F$, при этом все три точки $D', E', F'$ лежали в плоскости $ABC$.


Почти. Расстояние между $D$ и $B$ и угол между $A-B$ и $B-D$ тоже даны и тоже важны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поставить три точки в одну плоскость с тремя другими
Сообщение17.08.2017, 20:37 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
В таком случае вся сложность будет в повороте плоскости $\langle D,E,F\rangle$ до плоскости $\langle A,B,C\rangle$. Сначала можно рассмотреть поворот линейной части $\langle E-D,F-D\rangle$ этой плоскости до линейной части $\langle B-A,C-A\rangle$ той — это должно быть самым интересным, а потом определить недостающее смещение. Добавлю что-нибудь позже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поставить три точки в одну плоскость с тремя другими
Сообщение17.08.2017, 20:54 


25/02/11
123
arseniiv
Я представлял себе это совсем по-другому. Имея все углы и нормальный вектор к плоскости $ABC$ можно ведь как-то найти единичный вектор, смотрящий аккурат из $B$ в $D$, умножить его на $l$ и вуаля, $D$ готово. Потом повторить процедуру для $E$ и $F$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поставить три точки в одну плоскость с тремя другими
Сообщение17.08.2017, 21:57 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Тогда я пока не понял.
При преобразовании должны сохраниться расстояния/углы между $D,E,F$, а также:
расстояние $BD$
углы $ABD$ и $BDE$
Теперь точно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поставить три точки в одну плоскость с тремя другими
Сообщение17.08.2017, 22:17 


25/02/11
123
svv в сообщении #1241409 писал(а):
Тогда я пока не понял.
При преобразовании должны сохраниться расстояния/углы между $D,E,F$, а также:
расстояние $BD$
углы $ABD$ и $BDE$
Теперь точно?

Не понимаю чего Вы не понимаете. Вы ведь все сформулировали лучше меня в предыдущем посте.

Даны точки $A,B,C$ как координаты, а также $D,E,F$ в виде углов/расстояний между ними.
Надо "передвинуть" $D,E,F$ так, чтобы расстояние $BD$ равнялось $l$, угол $ABD$ равнялся $\beta$ и угол $BDE$ равнялся $\gamma$.
Я честно думал что можно как-то найти единичный вектор $BD$ из углов $\alpha$ и $\beta$ и аналогично для других точек. Но если это невыполнимо, то с радостью приму любое другое решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поставить три точки в одну плоскость с тремя другими
Сообщение17.08.2017, 22:28 


04/07/15
137
genius, я тоже, вероятно, не понимаю сути задания. Получается, Вам на одной плоскости надо воспроизвести Ваш рисунок, но с помощью вычислений? Если чёрные точки определяют плоскость, тогда остальные точки, каждая через систему уравнений, получают свои координаты на этой плоскости, но в трёхмерном пространстве. Например, точка D принадлежит этой плоскости, угол между прямыми известен, расстояние до B известно – три уравнения, три неизвестные. И так же последовательно остальные две точки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поставить три точки в одну плоскость с тремя другими
Сообщение17.08.2017, 22:34 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Какой из двух вариантов правильный?:
$\bullet$ расстояние $BD$ уже равно $\ell$, углы $ABD$ и $BDE$ уже равны $\beta$ и $\gamma$, а проблема только в том, что точки $D,E,F$ не лежат в плоскости $ABC$;
$\bullet$ расстояние $BD$ сейчас не равно $\ell$, углы $ABD$ и $BDE$ не равны $\beta$ и $\gamma$, а нужно, чтобы всё это выполнялось, когда эти точки переместятся в плоскость $ABC$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поставить три точки в одну плоскость с тремя другими
Сообщение17.08.2017, 22:36 


25/02/11
123
svv в сообщении #1241419 писал(а):
Какой из двух вариантов правильный?:
$\bullet$ расстояние $BD$ уже равно $\ell$, углы $ABD$ и $BDE$ уже равны $\beta$ и $\gamma$, а проблема только в том, что точки $D,E,F$ не лежат в плоскости $ABC$;
$\bullet$ расстояние $BD$ сейчас не равно $\ell$, углы $ABD$ и $BDE$ не равны $\beta$ и $\gamma$, а нужно, чтобы всё это выполнялось, когда эти точки переместятся в плоскость $ABC$.

Второй. $DEF$ вообще нигде пока не лежат, заданы они лишь относительно друг друга.

-- Чт авг 17, 2017 22:46:12 --

EXE в сообщении #1241418 писал(а):
genius, я тоже, вероятно, не понимаю сути задания. Получается, Вам на одной плоскости надо воспроизвести Ваш рисунок, но с помощью вычислений? Если чёрные точки определяют плоскость, тогда остальные точки, каждая через систему уравнений, получают свои координаты на этой плоскости, но в трёхмерном пространстве. Например, точка D принадлежит этой плоскости, угол между прямыми известен, расстояние до B известно – три уравнения, три неизвестные. И так же последовательно остальные две точки.


Все правильно, только неизвестных все-таки 9, а не 3. На каждую точку по 3 координаты. Не уверен что можно составить такую систему (а про аналитическое решение можно и не мечтать), но не могу сходу сказать что нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поставить три точки в одну плоскость с тремя другими
Сообщение17.08.2017, 23:04 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Что было написано к моменту великих потрясений.)

Ну, в принципе, потом решение можно оптимизировать, но, наверно, лучше не быть на низком уровне с самого начала. Итак, попробуем пока с (не аффинными) плоскостями. Тут действительно можно сразу спуститься на землю и представить их обе единичными нормалями $\mathbf n_1,\mathbf n_2$, и взять любой поворот, переводящий первый вектор во второй. В разных фреймворках это можно представить по-разному, но с матрицами это кошмарное выражение, не стоящее выписывания здесь. В алгебре Клиффорда соответствующий поворот будет иметь вид $\mathbf v\mapsto R^{-1}\mathbf vR$, где $R = \sqrt{\mathbf m\mathbf n} = \exp\dfrac{\mathbf m\wedge\mathbf n \arccos(\mathbf m\cdot\mathbf n)}{4\sqrt{1 - (\mathbf m\cdot\mathbf n)^2}}}$. <И тут я остановился и обновил страницу.>

_genius_ в сообщении #1241420 писал(а):
$DEF$ вообще нигде пока не лежат, заданы они лишь относительно друг друга.
Ну вот. :| Зачем вы тогда сказали svv, что он всё пересказал правильно в первый раз? Не надо, значит, находить никаких преобразований, надо просто эти точки насчитать — это практически совсем другое!

-- Пт авг 18, 2017 01:08:00 --

Т. е., можно сказать, заданы ещё дополнительные пара длин и угол, или длина и пара углов, или три длины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поставить три точки в одну плоскость с тремя другими
Сообщение17.08.2017, 23:08 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Упс... А я думал, что первый. Ещё и потому, что картинку понял как объёмную:
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Поставить три точки в одну плоскость с тремя другими
Сообщение17.08.2017, 23:10 


25/02/11
123
arseniiv в сообщении #1241427 писал(а):
Ну вот. :| Зачем вы тогда сказали svv, что он всё пересказал правильно в первый раз? Не надо, значит, находить никаких преобразований, надо просто эти точки насчитать — это практически совсем другое!

Ну не замечаю я сходу такие вещи. Разобрались ведь в итоге.
Именно и только насчитать численным решением системы из 9 линейных и нелинейных уравнений? Или все-таки есть элегантный подход, позволяющий найти вектор из $B$ в $D$ стандартными геометрическими методами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поставить три точки в одну плоскость с тремя другими
Сообщение17.08.2017, 23:11 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
А, в принципе, чего я жалуюсь, мой кусок решения всё так же применим.

-- Пт авг 18, 2017 01:12:37 --

_genius_, не, с вами всё хорошо. :-) Я ещё и ограничения на размещение в той плоскости на рисунке не посмотрел вовремя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поставить три точки в одну плоскость с тремя другими
Сообщение17.08.2017, 23:18 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Как сказал arseniiv, точки надо насчитать.
Вы знаете, где расположены нужные точки, если Вам известны векторы $\vec{BD}, \vec{DE}, \vec{EF}$.
Про каждый из этих векторов известны:
$\bullet$ длина;
$\bullet$ плоскость, в которой он лежит;
$\bullet$ угол, который он составляет с предыдущим вектором (для $\vec{BD}$ предыдущим является $\vec{AB}$)
Отсюда можно восстановить сам вектор, причём в общем случае есть два решения (повернуть в плоскости после предыдущего шага можно, условно говоря, направо и налево).

Итак, нужно сначала научиться решать эту вспомогательную задачу, а потом применить это решение три раза.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gg322, mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group