2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Отношение кубического корня из единицы по модулю к модулю
Сообщение17.08.2017, 16:04 


08/09/13
181
Для простых $p$ при $3|(p-1)$ обозначим через ${t_3}(p)$ меньший кубический корень из единицы по модулю $p$ (кроме тривиального, единицы), то есть ${t_3}(p) = \min \left\lbrace{x \in {\mathbb N}, x>1\ :\ x^3 \equiv 1 \pmod p}\right\rbrace$.
Пусть $p_1, p_2, \dots$ - последовательность всех простых, для которых $3|(p_i - 1)$.
Верно ли, что последовательность $\left({\frac{{t_3}(p_i)}{p_i}}\right)_{i=1}^{\infty}$ равномерно распределена на $(0;\frac{1}{2})$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение кубического корня из единицы по модулю к модулю
Сообщение11.09.2017, 06:18 


21/11/12
468
Цепная дробь $\dfrac{p}{x}$ имеет вид $a_n,a_{n-1},...,a_2,a_1+1,a_1,a_2,...,a_{n-1},a_n$ (или в обратном движении) - почти палиндром с четным количеством знаков, причем $a_n>1$. Соответствующие континуанты без первого и последнего знаков образуют кубические корни из $1$ и $-1$ и обе $<\dfrac{p}{2}$. Отсюда следует существование ровно одного $x<\dfrac{p}{2}$, сравнмого с единицей по $\mod p$. Дробь $a_1,a_2,...,a_{n-1},a_n=\dfrac{k}{m}$ можно получить из представления $p=k^2+km+m^2\ (k>m)$. А вот о равномерности распределения предположение сомнительно хотя бы потому, что $x>\sqrt[3]{p}$ и кажется $x<\dfrac{p-\sqrt[3]{p}}{2}$. Но судить не берусь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение кубического корня из единицы по модулю к модулю
Сообщение13.09.2017, 12:15 
Заслуженный участник


12/09/10
1493
Andrey A в сообщении #1246907 писал(а):
А вот о равномерности распределения предположение сомнительно хотя бы потому, что ...

Проверка по всем $p<10^9$ позволяет практически не сомневаться в истинности этой гипотезы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение кубического корня из единицы по модулю к модулю
Сообщение13.09.2017, 19:01 


21/11/12
468
Cash в сообщении #1247428 писал(а):
$p<10^9$

Ого. Мне казалось, что по краям интервала должно быть светлее. Но соглашусь, это иллюзия: любую дробь можно продолжить до палиндрома и, если результат - простое, брать в статистику. Трудно представить себе существование каких-то "специальных зон" пониженной/повышенной вероятности возникновения простого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение кубического корня из единицы по модулю к модулю
Сообщение14.09.2017, 13:43 


21/11/12
468
$\dfrac{1}{\pi }\approx \dfrac{2}{7},\dfrac{227}{709},\dfrac{33120}{104047},\dfrac{504250}{1584139},\dfrac{24155430164}{75886521943},\dfrac{7789306864623}{24470829222457},...$

8-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение кубического корня из единицы по модулю к модулю
Сообщение03.11.2017, 14:53 


08/09/13
181
Я провёл ещё экспериметы и выяснил (пока, конечно, в виде очень навязчивой гипотезы), что для любого $k$ последовательность $\left({\frac{{g_n}^{\left(\frac{p_n-1}{k}\right)} \pmod {p_n}}{p_n}}\right)_{n=1}^{\infty}$ равномерно распределена на (0;1), где $g_n$ - минимальный первообразный корень по модулю $p_n$ ($p_n$ - простые, для которых $p_n \equiv 1 \pmod k$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение кубического корня из единицы по модулю к модулю
Сообщение03.11.2017, 18:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3540
fractalon в сообщении #1241315 писал(а):
Верно ли, что последовательность $\left({\frac{{t_3}(p_i)}{p_i}}\right)_{i=1}^{\infty}$ равномерно распределена на $(0;\frac{1}{2})$?
W. Duke, J.B. Friedlander, H. Iwaniec «Equidistribution of roots of a quadratic congruence to prime moduli»

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Svetlow, Xaositect


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group