2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Инвариантное вычисление $\operatorname{div}(X \otimes Y)$
Сообщение15.08.2017, 20:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Легко вычислить $\operatorname{div} (X \wedge Y)$ используя определение $\operatorname{div}(X) = (\delta(X^\flat))^\sharp$ и примитивные тождества, которые содержат значки $\star,d,\delta,\wedge,\sharp,\flat$, но можно ли то же самое проедлать с $\operatorname{div}(X \otimes Y)$? Это выглядит намного сложнее (если вообще осмысленно), ведь кодифференциал $\delta$ вообще говоря не определён на произвольном элементе $\Gamma^\infty(T^{*k} M)$. Как быть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантное вычисление $\operatorname{div}(X \otimes Y)$
Сообщение15.08.2017, 21:02 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Ну, допустим, не получится. Тогда определим
$\operatorname{div}(X\otimes Y)=X\operatorname{div}(Y)+\operatorname{div}(X) Y$
(справа в первом слагаемом векторное поле просто умножается на скалярную функцию)

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантное вычисление $\operatorname{div}(X \otimes Y)$
Сообщение15.08.2017, 21:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Ну да, но интересна всё же общая ситуация, но видимо это означает научиться дифференцировать значком $d$ любые $k$-формы, не обязательно дифференциальные, что малоосмысленно.

Да и если $X$ и $Y$ это $k$-тензорные поля, а не просто векторные, то ваше доопределение не должно работать, что расстраивает немного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантное вычисление $\operatorname{div}(X \otimes Y)$
Сообщение15.08.2017, 21:41 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Да. И это не соответствует той дивергенции, что определяется через ковариантное дифференцирование:
$(A^i B^k)_{;k}=A^i{}_{;k} B^k+A^i B^k{}_{;k}$
Здесь только второе слагаемое имеет вид «одно векторное поле на дивергенцию второго».

-- Вт авг 15, 2017 21:54:56 --

И вообще, «наша» дивергенция зависит от связности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантное вычисление $\operatorname{div}(X \otimes Y)$
Сообщение15.08.2017, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
А, ну да, с ковариантной производной-то понятно как на тензорное произведение продолжать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантное вычисление $\operatorname{div}(X \otimes Y)$
Сообщение16.08.2017, 01:25 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Тензорное поле $\textsf S$ типа $(2,0)$ отображает пару ковекторных полей $\alpha$ и $\beta$ в скалярную функцию $f$:
$\textsf S(\alpha, \beta)=f$
Поле $\nabla_X \textsf S$ того же типа. Так как ковариантная производная линейна относительно $X$, можно определить тензорное поле $\nabla \textsf S$ типа $(2,1)$ так, чтобы
$(\nabla \textsf S)(\alpha, \beta; X)=(\nabla_X \textsf S)(\alpha, \beta)$
Чтобы получить векторное поле $\operatorname{div} \textsf S$, нужно свернуть $\nabla \textsf S$ по паре аргументов, векторному и ковекторному. Сделать это можно двумя способами:
$(\nabla \textsf S)(dx^k, \alpha; \frac{\partial}{\partial x^k})$ и $(\nabla \textsf S)(\alpha, dx^k; \frac{\partial}{\partial x^k})$
Эти способы равно мотивированны, а в приложениях лишь по традиции один предпочитается другому.

В случае индексной записи можно сказать просто «индекс дифференцирования можно свернуть с любым из контравариантных индексов тензора, получая разные результаты».

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантное вычисление $\operatorname{div}(X \otimes Y)$
Сообщение16.08.2017, 01:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377

(Оффтоп)

Если что, это был не сарказм, мне правда было понятно з:

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантное вычисление $\operatorname{div}(X \otimes Y)$
Сообщение16.08.2017, 01:29 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora

(Оффтоп)

Иногда так хочется порассуждать вслух. :-)
Может, кто-то ещё прочитает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group