Целые между степенями целых

[kthxbye]

Ферма указал, что 26 - единственное целое между квадратом ($5^2$) и кубом ($3^3$) целых. Существуют ли такие $a^x$ и $b^y$ (все целые, неотрицательные), что между ними располагается целое $k$ (при этом $a^x+2=b^y$)?

Случай $a^0$ и $b^1$ тривиален, $k=2$. Для $a^1$ и $b^1$ имеем $k=n$. Далее два варианта:

1) $a^1$ и $b^m$, где $k_{1}=2^m-1$, $k_{2}=k_{1}+3^m-2^m$, $k_{n}=k_{n-1}+(n+1)^m-n^m$;
2) $a^m$ и $b^1$, где $k_{1}=2$, $k_{2}=k_{1}+2^m-1$, $k_{n}=k_{n-1}+n^m-(n-1)^m$;

Очевидно, что случай $a^1$ и $b^1$ - единственный, когда $x=y$. Для всех остальных случаев ($x>1, y>1$) нашел только 26 (возможно потому, что рассматривал маленький диапазон). Существуют ли еще решения?

[Soul Friend]

очевидно, вы ищете целые значения $a=y+x$ функции:

$$x^3-(x-y)^2-n=0$$

где $n=2$.

[Soul Friend]

просмотрите таблицу значений ($x, y, z$) 3D графики функции:

$$ (x^3-(x-y)^2)-z=0$$

Есть ли там повторяющиеся значения $z$?.