Скалярное произведение функции на многочлен

[Ribin]

Существует ли такая $f \in C[-1, +1]$, что $\left\langle P(x), f \right\rangle = 0$ для любого многочлена $P(x)$ с нулевым свободным членом? Если не существует, то тот же вопрос для интегрируемой $f$.
Скалярное произведение функций определяется как $\left\langle f, g \right\rangle = \int \limits_{-1}^{+1}f\cdot g dx$
Для непрерывной я уверен в отрицательном ответе, потому как можно приближать любую нужную нам функцию на отрезке $[-1, +1]$ многочленами, но строгие рассуждения не поддаются.

[realeugene]

$f(x)\equiv 0$?

Про какие-то условия на $f$ вы забыли.

[ewert]

Ribin в сообщении #1240201 писал(а):

можно приближать любую нужную нам функцию на отрезке $[-1, +1]$ многочленами, но строгие рассуждения не поддаются.

Дело в том, что множество всех многочленов с нулевым свободным членом -- линейно. Ортогональность какой-то функции к линейному множеству равносильно ортогональности к его замыканию. В это замыкание входят (как Вы заметили, хоть и не совсем внятно), во всяком случае, все непрерывные функции, равные нулю в нуле. Остаётся единственный вопрос: что из себя представляет ортогональное дополнение к таким функциям?..

[Ribin]

realeugene в сообщении #1240215 писал(а):

$f(x)\equiv 0$?

Да, тождественный ноль интереса не представляет)

ewert в сообщении #1240248 писал(а):

Остаётся единственный вопрос: что из себя представляет ортогональное дополнение к таким функциям?..

Если предположить, что там содержится отличная от нуля непрерывная $g$, то взяв $h = g$ вне $O_{\varepsilon}(0)$, и линейно спадающей/возрастающей до $0$ в $O_{\varepsilon}(0)$ получим, что $g = 0$ есть тождественный ноль. Иначе интеграл положителен для некоторого $\varepsilon$
Не уверен, что вы такой подход имели ввиду)

[ewert]

Теперь дело уже вовсе не в непрерывности искомой функции. Сформулируем ровно тот же вопрос другими словами: что представляет из себя замыкание множества непрерывных функций, зафиксированных только в одной точке, в $L_2([-1;1])$ ?..

[Ribin]

Замыкание даёт само $L_{2}[-1; +1]$. Поэтому такой ненулевой $f$ нет не только среди непрерывных или интегрируемых, но и среди всего $L_{2}[-1; +1]$

[Ribin]

Однако, я помню следующую конструкцию.
Давайте определим $f_{n}$ на отрезке [-1; +1] следующим образом:
Разобъём отрезок [-1; +1] на $2^{n}$ одинаковых отрезков, на первых $C^{0}_{n}$ частях положим $f_{n}$ равной $+1$, на следующих $C^{1}_{n}$ равной -1 и т.д. чередуя знаки.
Известный факт: $f_{n}$ ортогональна любому многочлену степени не выше $n$. $f_{n} \in L_{2} \Rightarrow \lim f_{n} = F \in L_{2}$ ортогональна любому многочлену. Где я запутался?

[grizzly]

Ribin в сообщении #1240411 писал(а):

$f_{n} \in L_{2} \Rightarrow \lim f_{n} = F \in L_{2}$ ... Где я запутался?

Как Вы аргументируете сходимость этой последовательности?

[Ribin]

grizzly в сообщении #1240413 писал(а):

Как Вы аргументируете сходимость этой последовательности?

Думаю, никак

(Оффтоп)

За совсем глупые вопросы извините, только-только поступил на 1ый курс

[grizzly]

Ribin в сообщении #1240603 писал(а):

только-только поступил на 1ый курс

Поздравляем!

Ribin в сообщении #1240603 писал(а):

За совсем глупые вопросы извините

Ничего, правильные вопросы. Заходите почаще :)